Практичне заняття №5

Тема: Основи теорії похибок вимірювань та оцінка точності геодезичних вимірювань.

Мета: Навчитися визначати якість геодезичних вимірювань, основною характеристикою яких є досягнення необхідної точності.

Завдання: В ході виконання практичної роботи студенти повинні ознайомитися з основними критеріями оцінки точності вимірювань – похибками (помилками) вимірювань. Також студенти виконують самостійно завдання на практичну роботу згідно варіанту (n – номер варіанту студента – порядковий номер студента в групі).

Завдання на практичну роботу:

1. Обчислення середнього арифметичного значення:

   1. Обчислити середнє арифметичне значення ряду вимірювань згідно варіанту:

а) 106,32+(n х 2,41) м; 106,45+(n х 2,41) м; 106,33+(n х 2,41) м; 106,23+(n х 2,41) м;

б) 46°32^/+(n х 1°21^/); 46°35^/+(n х 1°21^/); 46°34^/+(n х 1°21^/); 46°33^/+(n х 1°21^/).

2. Обчислити середню арифметичну помилку для випадків а) та б) (вважати середньоарифметичне значення, як істинне).

1. Обчислення середньої квадратичної помилки

   1. Обчислити середню квадратичну помилку для випадків а) та б)., порівняти значення середньоквадратичної і середньоарифметичної помилок.

2. Обчислення відносної помилки вимірювань

   1. Обчислити відносні помилки для випадків а) та б). (відносну помилку записати у вигляді дробу 1/v, де v – відношення виміряного значення до абсолютної помилки.

3. Обробка результатів багаторазових рівноточних вимірювань.

   1. Провести обробку результатів багаторазових рівноточних вимірювань лише для варіанту а). Порівняти значення значення середньоквадратичних помилок, що обчислені в пунктах 1.2 і 4.1 цього завдання.

Теоретичні відомості

Види похибок вимірювань. Властивості випадкових похибок

Процес вимірювання фізичної величини – це порівняння її з іншою фізичною величиною такого ж роду, яку прийнято за одиницю вимірювань. Розрізняють безпосередній і посередній методи вимірювань.

При безпосередньому методі вимірювання предмета виконують безпосередні порівняння з одиницею міри. При посередньому - вимірювану величину обчислюють, розв’язуючи рівняння зв’язку між розмірами обчислюваного предмета як функції і величини іншого предмета.

Вимірювання також бувають рівноточними і нерівноточними.

Рівноточними називають вимірювання коли одну і ту ж величину вимірюють однокову кількість разів, в однакових умовах, однаковими приладами і однаковими методами.

Якщо хоча б одна умова порушується, вимірювання називають нерівноточними.

Результат вимірювання завжди відмінний від справжнього розміру предмета. Відхилення виникають через грубі, систематичні і випадкові похибки.

Грубі помилки це промах виконавця, прорахунки, описки і т.д. Для виключення грубих помилок предмет вимірюють два і більше разів.

Систематичні похибки виникають при вимірюванні однієї і тієї ж величини з однаковим знаком і з однаковою закономірністю (наприклад: мірна стрічка більша за контрольну на 10 мм). Систематичні помилки бувають:

- інструментальні - від дефектів приладів;

- середовища - вплив температури, вітру, рефракції;

- особисті – наприклад: при вимірюваннях одні спостерігачі заокруглюють до більшого, інші – до меншого відліку.

Випадкові помилки (неминучі), не підпорядковуються певним законам, виникають від впливу різних факторів (недосконалість вимірювальних приладів, недосконалість органів чуття, нерівномірний вплив середовища, особливості прийнятої методики вимірювань, обмеження точності інструментів, кваліфікація виконавця).

Доведено, що випадкові помилки вимірювань, які відзначаються масовим (статистичним) характером, мають такі властивості:

- за даних умов вимірювань випадкові помилки не можуть перевищувати певної межі (границі), яку називають граничною помилкою;

- в ряді вимірювань малі за абсолютною величиною помилки трапляються частіше від великих;

- додатні помилки з’являються так само як і рівні їм за абсолютною величиною від’ємні помилки;

- границя відношення суми випадкових помилок однакової точності, однієї і тієї ж величини до числа вимірювань при нескінченому числі вимірювань, наближається до нуля:

lim_n   n  0 (5.1)

де  - сума випадкових помилок, n – кількість вимірювань.

Критерії оцінки точності результатів вимірювань

Середня арифметична помилка. Для збільшення точності результату предмет вимірюють кілька разів і обчислюють його середнє арифметичне значення:

L = (l₁+l₂+…+l_n)  n (5.2)

Якщо справжні помилки результатів:

₁ = l₁ – X; ₂ = l₂ – X; …_n = l_n – X; (5.3)

(де: l_і – результати рівно точних вимірювань, X – істинне значення) скласти, а їх суми поділити на n вимірювань, то:

  n = l  n – X; L = l  n =   n + X, або   n = L – X,

за четвертою властивістю середнього арифметичного:

  n  0, (5.4)

тому:

l  n X, (5.5)

Тобто середнє арифметичне при кількості вимірювань n наближається до свого істинного значення.

Середня квадратична помилка окремого вимірювання

Як зазначено вище випадкові помилки кожного з результатів вимірювань обчислюють за формулами:

₁ = l₁ – X; ₂ = l₂ – X; …_n = l_n – X; (5.6)

За цими помилками оцінюють точність результатів вимірювань, обчислюючи значення середньої квадратичної помилки одного вимірювання:

m =  (₁² + ₂² + _n²)  n = n²  n (5.7)

де: n – число вимірювань;

Попередню формулу називають формулою Гауса.

Середня квадратична помилка m є більш надійним критерієм, ніж середня арифметична. Вона має наступні властивості:

- значення помилки не залежить від знаку окремих помилок, а лише від їх абсолютної величини;

- на величину помилки найбільше впливають більші за абсолютною величиною випадкові помилки, які і визначають точність вимірів;

- помилка має достатню стійкість при порівняно невеликій кількості вимірів;

- за величиною помилки можна судити про граничну помилку вимірів.

В теорії ймовірності доведено, що:

m = 1.25L (5.8)

Гранична помилка

Потроєну (інколи приймають подвоєну) середню квадратичну помилку вважають граничною:

_lim = 3m (5.9)

Інколи приймають _lim = 2m, але при цьому виникає ризик помилки на 5%. Знаючи значення граничних помилок, розробляють службові допуски помилок і нев’язок при геодезичних роботах.

Ймовірна помилка

Ймовірна помилка – це таке значення випадкової помилки, по відношенню до якої рівноможливі як більші так і менші випадкові помилки вона дорівнює:

r = 23 m, (5.10)

Відносна похибка

Оцінку точності виміряних величин дуже часто виконують за допомогою відносної похибки. Відносною похибкою називається відношення абсолютної похибки до значення вимірюваної величини. Вона завжди записується у вигляді дробу, чисельник якої – абсолютна похибка, знаменник – виміряне значення даної величини.

Обробка результатів багаторазових рівноточних вимірювань однієї величини

У випадках, коли істинне значення вимірюваної величини невідоме, середню квадратичну помилку m визначають за відхиленням v_i окремих результатів вимірювань l_i від середнього арифметичного значення L.

Нехай l₁, l₂…l_n – результати вимірів якоїсь величини, істинне значення якої Х, а арифметична середина L. Тоді для і-того вимірювання значення випадкової помилки визначають як:

_і = l_i – X, (5.11)

значення ймовірної помилки обчислюють за формулою:

v_i = l_i – L, (5.12)

якщо знайти суму n таких рівностей, отримаємо:

v = l - nL (5.13)

але

L = l  n, (5.14)

тобто

v = 0. (5.15)

Тоді:

_і – l_i = l_i – X – (l_i – L) = L – X =  (5.16)

де - деяка мала величина.

Звідси:

_i = v_i +  (5.17)

в нашому випадку таких рівностей буде n:

₁ = v₁ + , ₂ = v₂ + ,…_n = v_n + , (5.18)

Якщо взяти квадрат цих рівностей і іх скласти, отримаємо:

₁² + ₂² +…+ _n² = v₁² + v₂² +…+ v_n² + n² + 2(v₁ + v₂ +…+ v_n), (5.19)

якщо:

₁² + ₂² +…+ _n² = ²; v₁² + v₂² +…+ v_n² = v²; v₁ + v₂ +…+ v_n = v; (5.20)

тоді отримаємо:

² = v² + n² + 2v; (5.21)

доведено, що:

v = 0 (5.22)

тоді:

² = v² + n², (5.23)

або

² n = v²  n+ ² (5.24)

якщо:

 = M = m  n, (5.25)

тоді:

² = m²  n, (5.26)

за формулою Гауса:

m² = ²  n, (5.27)

тоді:

m² = v²  n + m²  n, (5.28)

або:

m² - m²  n = v²  n , .(5.29)

m² (1 - 1  n) = v²  n , (5.30)

m² (n - 1) n = v²  n , (5.31)

m² (n - 1) = v² , (5.32)

Отже остаточно отримаємо:

m = v²  (n - 1) (5.33)

Отримана формула називається формулою Бесселя, її використовують на практиці для визначення середньої квадратичної помилки окремого вимірювання.

Обробка результатів багаторазових нерівноточних вимірювань однієї величини

Вимірювання, що виконують в умовах, при яких результати не можна рахувати однаково надійними, називають нерівноточними.

Ступінь довіри до результату виміру називають вагою цього результату. Чим надійнішим є результат, тим більшою є його вага. Вагу результату обчислюють за формулою:

p = k  m² (5.34)

де: k – довільне число, яке вибирають для зручності обчислень, однакове при обробці даної групи вимірювань.

Якщо результати нерівноточних вимірів однієї і тієї ж величини l₁, l₂, … l_n, а p₁, p₂, … p_n – їх ваги, кожне значення l_i можна розглядати як середнє арифметичне:

l_i = (l_i1 + l_i2 + … +l_in)  p (5.35)

або

p_il_i = l_I (5.36)

Число таких рівностей буде p. Взявши середнє арифметичне з лівих і правих частин рівнянь, отримаємо:

pl  p = l_I  p (5.37)

Якщо позначити:

l_I  p = L₀ (5.38)

тоді:

L₀ = pl  p (5.39)

або:

L₀ = (p₁l₁ + p₂l₂ + …+p_nl_n)  (p₁ + p₂ + …+p_n) = pl  p (5.40)

За останньою формулою визначають загальне середнє арифметичне, яке дорівнює сумі добутків кожного результату на його вагу, поділене на суму ваг.

Для оцінки точності нерівноточних вимірів застосовують:

Середню квадратичну помилку вимірювання з вагою, рівною одиниці:

 =   pv²  (n – 1) (5.41)

Середню квадратичну помилку виміру:

 =  p²  n (5.42)

Середню квадратичну помилку загального арифметичного середнього:

M₀ =   p (5.43)

Середня квадратична помилка арифметичної середини

Нехай маємо ряд рівноточних вимірів однієї величини l₁, l₂, … l_n, арифметичну середину визначають за формулою:

L = (l₁, l₂, … l_n)  n = 1n  l₁ + 1n  l₂ +…+ 1n  l_n (5.44)

де: 1n – постійне число.

Доведено, що квадрат середньої квадратичної помилки функції загального вигляду дорівнює сумі квадратів добутків частинних похідних за кожним аргументом на середню квадратичну помилку відповідного аргументу:

M_z² = ((f  x₁)  m₁)² + ((f  x₂)  m₂)² + …+ ((f  x_n)  m_n)² (5.45)

Якщо середня квадратична помилка вимірювання m, а середня квадратична помилка арифметичного середнього М, то відповідно до останньої формули:

M_l² = (1n²)  m_l1² + (1n²)  m_l2² + …+ (1n²)  m_ln² (5.46)

Якщо припустити, що:

m_l1 = m_l2 = … m_ln = m (5.47)

тоді:

M_l² = (1n²)  (m_l1² + m_l2² + …+ m_ln²) = (1n²)  (nm²) = m²  n (5.48)

або:

M_l = m  n. (5.49)

Тобто середня квадратична помилка арифметичного середнього в n разів менша за середню квадратичну помилку вимірювання.