Часть I.Оценка надежности конструкции верхнего строения пути

1.1 Показатели надежности и модели отказов элементов

верхнего строения пути

Основные показатели надежности элементов верхнего строения пути - показатели надежности невосстанавливаемых объектов или объектов, работающих до первого отказа( рельсы). Для оценки надежности таких объектов используют вероятностные характеристики случайной величины – наработки Т объекта от начала его эксплуатации до первого отказа.

Критериями надежности невосстанавливаемых объектов являются:

- вероятность безотказной работы P(t);

- плотность распределения наработки до отказа f(t);

- интенсивность отказов (t);

- средняя наработка до первого отказа T_ср.

Вероятность безотказной работы – это вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.

Согласно определению,

P(t) = P(T>t),где

t – время или наработка, в течение которой определяется вероятность безотказной работы;

T – время или наработка от начала до первого отказа.

Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением:

,где

N₀ – число объектов в начале испытаний;

N(t_i) – число безотказно проработавших объектов к моменту времени t_i.

При большом числе объектов N₀ статистическая оценка P(t) практически совпадает с вероятностью безотказной работы . На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность отказа F(t).

Вероятность отказа – это вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникнет хотя бы один отказ. Отказ и безотказная работа являются событиями несовместимыми и противоположными, поэтому

,где

r(t_i) – число отказов к моменту времени (t_i).

Плотность распределения наработки до отказа - это отношение числа отказавших объектов в единицу времени к первоначальному числу испытываемых объектов при условии, что все вышедшие из строя объекты не восстанавливаются.

Плотность распределения наработки до отказа f(t) является дифференциальной формой закона распределения наработки до отказа:

Плотность f(t) является неотрицательной функцией, причем

.

График f(t) часто называют кривой распределения наработки до отказа.

Статистическая оценка плотности вероятности безотказной работы имеет вид:

,

где n_i – число отказавших изделий в интервале времени ∆t.

Интенсивность отказов – это отношение числа отказавших объектов в единицу наработки к числу объектов, безотказно работающих к рассматриваемому моменту времени,

Вероятностная оценка интенсивности отказов определяется по формуле:

.

Интенсивность отказов – это условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени или наработки при условии, что до этого момента отказа не произошло.

Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны между собой зависимостью:

.

Важнейшей из характеристик является средняя наработка до первого отказа, определяемая как математическое ожидание величины t:

.

Так как t положительно и Р(0)=1, а Р()=0, то

.

По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого отказа вычисляется по формуле:

,где

t_i – время (наработка) безотказной работы i-го образца изделия;

N₀ – число испытуемых образцов.

Основной характеристикой рассеивания случайной величины является дисперсия этой величины, определяемая как

.

Статистическая оценка дисперсии величины t имеет следующий вид:

.

За меру рассеивания принимают также среднее квадратичное отклонение (или стандарт), равное квадратному корню из дисперсии, взятому с положительным знаком:

.

Рассмотренные критерии позволяют достаточно полно оценить надежность невосстанавливаемых изделий. Они позволяют также оценить надежность восстанавливаемых изделий до первого отказа.

Исчерпывающей характеристикой надежности устройств с непрерывным характером работы служит закон распределения времени безотказной работы. Если известны вид закона и его параметры, то можно определить любую интересующую нас характеристику надежности.

В качестве теоретических распределений наработки до отказа могут быть использованы применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения. Наиболее распространенными законами распределения отказов являются экспоненциальный и нормальный.

Экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов элементов и систем.

Плотность вероятности экспоненциального распределения случайной величины задается уравнением:

,где

 – интенсивность отказов

(величина, обратная наработке до отказа, ).

Если отказы исследуемых объектов подчиняются экспоненциальному закону, то для данного объекта в данных условиях эксплуатации  = const, т. е. в равные промежутки наработки число отказавших объектов, приходящихся на каждый оставшийся работоспособным к этому моменту наработки, будет постоянным.

Другие характеристики экспоненциального распределения: средняя наработка до первого отказа , дисперсия D_T = Т_cp; вероятность безотказной работы:

.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) часто хорошо согласуется с экспериментальными данными при испытаниях на надежность. Это относится прежде всего к таким процессам, при которых отказы вызываются многими равно влияющими причинами. Параметрами распределения для нормального закона являются T_cp и _t.

Плотность распределения случайной величины задается уравнением:

.

Расчеты удобно производить, если указанное выражение привести к более простому виду. Для этого начало координат надо переместить на ось симметрии, т. е. в точку T_cp, и наработку представить в относительных единицах, а именно в частях, пропорциональных среднему квадратичному отклонению. При этом необходимо заменить переменную величину другой

,

а величину среднего квадратичного отклонения принять _t = 1. Тогда в новых координатах получим так называемую центрированную и нормированную функцию, плотность распределения которой

.

Значения этой функции приведены во многих математических справочниках. Площадь под кривой (x) в пределах – < x <  равна 1.

Интегральная функция:

,

которая является функцией нормального распределения, также протабулирована и ею удобно пользоваться при расчетах.

Обратный переход от центрированной и нормированной функции к исходной делается по формулам:

;

.

Эксплуатировать конструкции пути до полного отказа всех элементов невозможно, поэтому для определения параметров распределения используют усеченные выборки.

В случае усеченной выборки, когда в результате испытаний объектов получены R возрастающих значений наработки (R < N₀) для отказавших объектов t₁, t₂, …, t_r, a N_0–r объектов по истечении некоторого времени t₀  t_r остались исправными, параметры T_cp и _t можно оценить по методу квантилей следующими образом.

Квантиль порядка P есть такое значение U_p = P случайной величины x, для которой

(0 < P < 1).

и .

Индекс P означает «вероятность» и в таблицах квантилей задается в пределах 0,5  P  1, если P  0,5, то определяют 1 – P, т. е.

и .

Считаем, что за время t_i вероятность выхода из строя испытываемых объектов составляет

.

Для этой вероятности (частично) определяем квантили U_p по приложению 2 и составляем R уравнений:

Полученную систему уравнений решим по методу наименьших квадратов, для чего умножим левые части каждого из уравнений системы на U_P1, U_P2, ... ,U_Pr соответственно и все R уравнений сложим, в результате получим так называемое первое нормальное уравнение:

Второе нормальное уравнение получим суммированием уравнений системы:

.

Уравнения решаем относительно неизвестных T_cp и _t и находим таким образом их оценки.