3.3. Однобічні границі

П

Рис. 3.4

равим (лівим) півоколом точки називається довільний інтервал вигляду .

Якщо в означенні границі функції у точці замінити проколений окіл на правий (лівий ) півокіл точки , то прийдемо до поняття правої (лівої) границі функції у точці .

Застосуємо для правої (лівої) границі такі позначення:

, .

Існування скінченної границі рівнозначно тому, що .

Аналогічно ).

Рис. 3.5

Приклад 4. Функція , якщо , має у точці праву границю, що дорівнює 1, і ліву границю, що дорівнює –1. Вона не має границі у точці . Її графік в околі цієї точки не може бути розташований у смузі, ширина якої менше 2 (рис. 3.5).

3.4. Послідовність та її границя

Означення 1. Послідовністю називається функція, яка визначена на множині натуральних чисел: . Число називається –м членом послідовності й позначається , або .

Для послідовності використовуються позначення

; .

Про границю послідовності можна говорити лише при .

Поняття границі послідовності одержується з поняття границі функції при .

Означення 2. Число називається границею послідовності , якщо для будь-якого околу числа існує окіл , такий, що , якщо .

Для границі послідовності використовуються такі позначення:

; , .

Інакше кажучи, число є границею послідовності, якщо в будь-який окіл цього числа потрапляють всі члени послідовності, за винятком скінченного їх числа.

Приклад 6. Довести, що: а) ; б) .

Р озв’язання. а) Нехай – довільне додатне число. Доведемо існування такого числа , що для членів послідовності, номери яких більше , виконується нерівність .Остання нерівність рівнозначна нерівності , яка справедлива при . (При отримаємо ). Це означає, що в проміжок потрапляють всі члени послідовності , починаючи з четвертого (рис. 3.7, а).

а

б Рис. 3.7

б) . Виберемо . Тоді = . Отже, в окіл потрапляють всі члени послідовності , починаючи з шостого (рис. 3.7, б).

ТЕОРЕМА. Співвідношення має місце тоді і тільки тоді, коли для будь-якої послідовності , такої, що (твердження справедливе і для та ).

Цю теорему зручно використовувати для доведення того, що деяка функція не має границі при .

Приклад 7. Довести, що функція не має границі при .

Розв’язання.

Виберемо дві прямуючі до нуля послідовності та . Тоді і .

Отже, , і, значить, функція не має границі при .

3.Розкриття невизначенностей

Теорема 2. (Арифметичні властивості скінченних границь). Якщо функції та мають у точці скінченні границі та відповідно, то в цій точці мають скінченні границі функції , , , а саме:

,

1) , 2) , (3) 3) .

Твердження теореми зберігається і при , .

У тих випадках, коли хоча б одна з границь нескінченна або границя знаменника дорівнює нулю, теорему про арифметичні властивості границь не можна застосовувати. Якщо праві частини виразів 1)-3) мають вигляд

, (4)

то кажуть, що відповідна границя (3) являє собою невизначеність вигляду (4), а обчисслення цієї границі називається розкриттям невизначенності.

У багатьох випадках невизначеності розкриваються за допомогою алгебраїчних перетворень.

Приклад 4.Знайти: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

Розв’язання.

а) ;

б) ;

в)

;г) ;

д) .