2.8. Деякі факти математичної логіки

У подальшому іноді будуть використовуватися логічні символи (значки, що дозволяють коротко записати різні твердження).

1. Запис означає, що з випливає . При цьому називається достатньою умовою для , а – необхідною умовою для .

Запис означає, що рівнозначне . Інакше, умова є необхідною і достатньою для :

а) нехай означає, що чотирикутник є ромбом, а – що діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні. Тоді , але .

Якщо ж твердження полягає у тому, що діагоналі взаємно перпендикулярні і в точці перетину діляться навпіл, то ;

б) , однак ;

в) .

Нехай – деяка властивість, яку можуть мати чи не мати ел-ти , що входять у множину .

2. Запис означає, що в множині існує (знайдеться) елемент, що має властивість . Наприклад, .

3. Запис означає, що в множині існує точно один елемент з властивістю . Наприклад, .

4. Запис означає, що всі елементи (кожний елемент) множини мають

ластивість . Наприклад:

а) ; б) .

Символи , називаються, відповідно, кванторами існування та всебічності.

При переході до протилежного твердження потрібно символ замінити символом і навпаки, а властивість , яка фігурує у твердженні, змінити на , тобто на протилежну:

, .

Наприклад:

обмежена		;
необмежена		: .

Неперервність

Як відомо, будь-яке фізичне середовище являє собою сукупність великої кількості частинок. Макроскопічний опис деякого явища засновано на тому, що нехтують відстанями між частинками порівняно з характерними розмірами тієї частини простору, де проходить явище. При такому розгляді маса вважається розподіленою без усяких просвітів неперервно в зайнятій середовищем частині простору.

4.1. Неперервні функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки .

Припустимо, що значення функції ( ) мало відрізняються від , якщо мало відрізняється від . В цьому випадку будемо вважати, що значення функції змінюються в околі без стрибків, тобто неперервно. Прикладом неперервної функції може служити закон руху матеріальної точки, який пов’язує пройдений точкою шлях з часом. Оскільки час і простір неперервні, то закон руху ставить у відповідність малій зміні часу малу зміну пройденого шляху.

Перейдемо до точних означень.

Означення 1.0 Приростом аргументу у точці називається різниця значень аргументу

Означення 1. Приростом функції у точці , який відповідає приросту незалежної змінної, назвемо число (рис. 4.1, а)

.
а		б

Рис. 4.1

Приклад 1. Знайти приріст функції у точках ; .

Розв’язання.

; .

Означення 2. Функція називається неперервною у точці , якщо

.

Оскільки ,

то з означення 2 випливає, що функція неперервна у точці , якщо границя цієї функції у точці існує і дорівнює значенню функції у точці (рис. 4.1, б)

.

Отже,

неперервна в точці

: .

Якщо функція неперервна в кожній точці деякої множини (наприклад, інтервалу ), то

кажуть, що функція неперервна на цій множині (на інтервалі ).

Відзначимо такі важливі результати;

1) і неперервні у точці

, , неперервні у точці ;

2) Якщо функція неперервна у точці , а функція неперервна у точці , то складена функція неперервна у точці . Звідси випливає, що

елементарні функції неперервні в області визначення.

Приклад 2. Покажемо на підставі означення 2, що функції та є неперервними для всіх значень .

Розв’язання. 1) = , якщо ; 2) = , оскільки функція є нескінченно малою при .