1.Справочный материал

НЕОПРЕДЕЛЕННЫй ИНТЕГРАЛ.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1). ;

2). ;

3). ;

4). , где

5) - свойство инвариантности

Таблица основных производных и интегралов

методы интегрирования.

1. Интегрирование подстановкой

.

2. Интегрирование методом интегрирования по частям

.

Типы интегралов, берущиеся интегрированием по частям:

1
2
3 «круговой интеграл»	,

Интегрирование рациональных алгебраических функций:

1.Если подынтегральная дробь неправильная, то нужно выделить целую часть.

2. Если дробь правильная, то нужно применить разложение правильной дроби на простейшие дроби:

Интегрирование тригонометрических функций:

1. Используемые формулы:

, , .

Примеры: , , .

2.Используемые формулы:

,

,

Пример: .

3.Универсальная тригонометрическая подстановка:

 подстановкой , тогда ,

, ,

Пример: .

4. Если под интегралом и содержатся только в четных степенях, то лучше применять подстановку:

, тогда , , ,

5.  подстановкой , тогда , .

Интегрирование иррациональных функций

Интеграл , берется подстановкой .

Пример: .

Интеграл , берется подстановкой .

Тригонометрические подстановки:

Интеграл , берется подстановкой ,

тогда , , .

Интеграл , берется подстановкой ,

тогда , , .

Интеграл , берется подстановкой ,

тогда , , .

Интегралы от дифференциального бинома .

Берется в трех случаях:

1).  целое, решается разложением

2).  целое, решается заменой , где знаменатель дроби

3)  целое, решается заменой , где знаменатель дроби

2. Задания для самостоятельной работы

Задание1. Вычислить неопределенный интеграл

1.	а)	б)
	в)	г)
	д)
2.	а)	б)
	в)	г)
	д)
3.	а)	б)
	в)	г)
	д)
4.	а)	б)
	в)	г)
	д)
5.	а)	б)
	в)	г)
	д)
6.	а)	б)
	в)	г)
	д)
7.	а)	б)
	в)	г)
	д)
8.	а)	б)
	в)	г)
	д)
9.	а)	б)
	в)	г)
	д)
10.	а)	б)
	в)	г)
	д)
11.	а)	б)
	в)	г)
	д)
12.	а)	б)
	в)	г)
	д)
13.	а)	б)
	в)	г)
	д)
14.	а)	б)
	в)	г)
	д)
15.	а)	б)
	в)	г)
	д)
16.	а)	б)
	в)	г)
	д)
17.	а)	б)
	в)	г)
	д)
18.	а)	б)
	в)	г)
	д)
19.	а)	б)
	в)	г)
	д)
20.	а)	б)
	в)	г)
	д)

Задание2. Вычислить определенный интеграл:

1. а)	б)
2. а)	б)
3. а)	б)
4. а)	б)
5. а)	б)
6. а)	б)
7. а)	б)
8. а)	б)
9. а)	б)
10. а)	б)
11. а)	б)
12. а)	б)
13. а)	б)
14. а)	б)
15. а)	б)
16. а)	б)
17. а)	б)
18. а)	б)
19. а)	б)
20. а)	б)

Задание 3. Решить задачу.

1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой и осью .

2. Найти площадь, ограниченную астроидой

3. Найти площадь, ограниченную одной аркой циклоиды и осью .

4. Найти площадь, ограниченную цепной линией и прямыми .

5. Найти площадь, ограниченную гиперболой и прямой .

6. Найти площадь, ограниченную кубической параболой и прямыми

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами: и

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

9. Вычислить площадь фигуры, ограниченную дугами парабол и прямой .

10. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрическими уравнениями

11. Вычислить площадь, ограниченную гиперболой и прямой .

12. Вычислить объем, образованный вращением вокруг оси площади, ограниченной параболами и .

13. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: (одной волной), вокруг оси .

14. Найти объем тела, ограниченного вокруг оси .

15. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: вокруг оси .

16. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: вокруг оси .

17. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси .

18. Вычислить длину дуги кривой между точками пересечения с осью .

19. Найти длину дуги кривой

20. Вычислить длину дуги астроиды

Задание 4. Вычислить несобственные интегралы:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.

Задание 5. Применение определенного интеграла в экономических задачах.

1. Найти среднее значение издержек , выраженных в денежных единицах, если объем продукции x меняется от 0 до 4 единиц. Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение.

2. Определить объем продукции, произведенной рабочим за второй час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

.

3. Определить запас товаров на складе, образуемый за два дня, если поступление товаров характеризуется функцией .

4. Определить количество тракторов, выпущенных за пять лет, если годовой выпуск рос в арифметической прогрессии .

5. Найти полные издержки производства, если объем продукции равен 42 единицам, а зависимость издержек от объема имеет вид .

6. Дана функция предельных издержек , . Найти функцию издержек и вычислить издержки в случае производства 10 единиц товара, если известно, что издержки для производства первой единицы товара составили 50 рублей.

7. Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью (млрд руб\год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой p=5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока.

8. Пусть кривая предложения имеет вид . Точка равновесия между спросом и предложением достигается при количестве товара q₀=3. Определить добавочную выгоду производителя.

9. Чистые инвестиции . Определить приращение капитала за три года. Через сколько лет приращение составит 50000?

10. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .

11. По данным исследований в распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца может быть описана уравнением , где x – доля населения, y – доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини.

12. Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млрд.руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млрд.руб.

13. Вычислить начальный вклад P, если выплаты должны составлять 100 в течение 4 лет, а процентная ставка равна 7.

14. Найти среднее значение издержек , выраженных в денежных единицах, если объем продукции x меняется от 0 до 8 единиц. Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение.

15. Определить объем продукции, произведенной рабочим за четвертый час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

.

16. Найти полные издержки производства, если объем продукции равен 50 единицам, а зависимость издержек от объема имеет вид .

17. Дана функция предельных издержек , . Найти функцию издержек и вычислить издержки в случае производства 25 единиц товара, если известно, что издержки для производства первой единицы товара составили 100 рублей.

18. Под строительство жилого дома задан непрерывный денежный поток со скоростью (млрд руб/год) в течение 3 лет с годовой процентной ставкой p=8%. Найти дисконтированную стоимость этого потока.

19. Пусть кривая предложения имеет вид . Точка равновесия между спросом и предложением достигается при количестве товара q₀=5. Определить добавочную выгоду производителя.

20. Чистые инвестиции . Определить приращение капитала за шесть лет. Через сколько лет приращение составит 500000?

21. Найти объем продукции, произведенной за 10 лет, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .

22. Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 5%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 6 млрд.руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млн.руб.

23. Вычислить начальный вклад P, если выплаты должны составлять 50 в течение 8 лет, а процентная ставка равна 4.

Зачетное задание №5 Дифференциальные уравнения