Властивості лінійних операцій над векторами

1°. Додавання векторів комутативне (переставна властивість додавання векторів), тобто для будь-яких двох векторів і

+ = + .

2°. Додавання векторів асоціативне (сполучна властивість додавання векторів), тобто для будь-яких трьох векторів , і

+ ( + ) = ( + ) + .

3°. Множення вектора на число асоціативне (сполучна властивість множення вектора на число), тобто для будь-яких чисел α, β і вектора

.

4°. Множення вектора на число дистрибутивне відносно додавання векторів і відносно додавання чисел (розподільні властивості множення вектора на число відносно додавання векторів і додавання чисел відповідно), тобто:

а) для будь-яких двох векторів і і будь-якого числа

( + ) = + ;

б) для будь-яких чисел , і будь-якого вектора

.

5°. Якщо вектор колінеарний ненульовому вектору , то існує і до того ж єдине число таке, що .

Доведення(5^о). Цим числом є або , або – , в залежності від напряму векторів і . Якщо , то . Очевидним є, що при

b  0  може бути тільки єдине, бо при множенні на різні числа будемо одержувати різні вектори.

Зауваження 1. Доведення властивостей 1°-4° можна знайти, наприклад, в [2].

Зауваження 2. Властивості 1°-4° лінійних операцій над векторами мають фундаментальне значення, оскільки вони дають можливість виконувати перетворення в векторній алгебрі в основному так, як це робиться у звичайній алгебрі.

Зауваження 3. Як і у звичайній алгебрі віднімання векторів визначається як операція обернена до додавання.

Різницею – векторів і називається такий вектор , сума якого з вектором дорівнює вектору , тобто: – = , якщо + = .

З цього випливає, що вектори + і – є діагоналями паралелограма, побудованого на векторах і (рис.6).

Зауваження. Вектор є одиничним, тобто ортом вектора : .

Розкладання вектора за базисом. Координати вектора і точки.

Розглянемо декілька векторів , , …, і числа , ,…, .

Будь-який вектор b, що має вигляд

b =

називається лінійною комбінацією даних векторів.

Якщо вектор подано у вигляді лінійної комбінації векторів, то кажуть, що його розкладено за цими векторами.

Теорема 1. Нехай дано два неколінеарних вектора і . Тоді будь-який вектор компланарний з ними, можна розкласти за векторами і , тобто існують числа і такі, що = + , причому таке розкладання єдине.

Доведення.

1. Доведемо, що розкладання існує.

Вектори і - ненульові, інакше вони були б колінеарними. Якщо вектор колінеарний якому-небудь з векторів або , наприклад , то за властивістю 5° лінійних операцій над векторами , і шукане розкладання знайдене.

Припустимо, що всі три вектори попарно неколінеарні. Перенесемо всі три вектори до спільного початку О, що можна зробити на основі означення рівності векторів (рис.7).

З а правилом паралелограма , але за властивістю 5° , , тобто .

2. Доведемо, що дане розкладання єдине.

Припустимо супротивне: нехай існує інша лінійна комбінація векторів і , що дорівнює вектору , тобто

,

,

причому , . Віднімемо почленно останню рівність:

,

звідси маємо:

.

Це означає, що вектори і колінеарні, що суперечить припущенню. Теорему доведено.

Теорема 2. Нехай дано три некомпланарні вектори , , . Тоді будь-який четвертий вектор можна подати як їх лінійну комбінацію і до того ж єдиним способом.

Доведення базується на доведенні теореми 1 і пропонується провести його самостійно.

Базисом в просторі називається трійка некомпланарних векторів, взятих в певному порядку, базисом на площині – двійка неколінеарних векторів, взятих в певному порядку.

З теорем 1 і 2 випливає, що базис дозволяє однозначно співставити кожному вектору площини (простору) впорядковану двійку (трійку) чисел – коефіцієнтів в розкладанні вектора за базисом. Ці коефіцієнти називаються координатами вектора в даному базисі. Наприклад, якщо , , – базис в просторі і , то числа є координатами вектора в цьому базисі. Це записують так: .

Теорема 3 (про дії над координатами). При додаванні векторів їх відповідні координати додаються, а при множенні на число – кожна координата множиться на це число.