Мішаний добуток векторів.

Мішаним (векторно-скалярним) добутком векторів , і називається скалярний добуток вектора на вектор , тобто .

Теорема 6 (геометричний зміст мішаного добутку). Мішаний добуток трьох некомпланарних векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , , взятому зі знаком плюс, якщо трійка , , є правою, і зі знаком мінус, якщо ця трійка ліва.

Якщо вектори , , компланарні, то їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Доведення

Припустимо, що вектори і неколінеарні і позначимо через площу паралелограма, побудованого на цих векторах. Тоді на основі геометричної властивості векторного добутку

(7)

де – одиничний вектор, перпендикулярний до векторів і , і який утворює з останніми праву трійку.

Помножимо векторну рівність (7) скалярно на вектор одержимо:

.

Але , де h- висота паралелепіпеда, побудованого на векторах , , , за умови, що його основою є паралелограм, побудований на векторах , . Таким чином, позначивши об’єм паралелепіпеда через V і беручи до уваги що одержимо:

.

Зауважимо тепер, що якщо вектор розташований по ту сторону від площини векторів і , що й вектор , тобто коли трійка , , є правою.

у протилежному випадку, тобто коли трійка , , є лівою. Теорему доведено.

Наслідок. Мішаний добуток векторів , , дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори компланарні.

Дійсно, з доведення попередньої теореми випливає, що коли вектори , , компланарні, то тобто скалярний добуток векторів і дорівнює нулю , а отже . У випадку коли і колінеарні, , а тому і .

Навпаки, якщо , і некомпланарні, то об’єм побудованого на них паралелепіпеда буде відмінним від нуля, тобто .

Алгебраїчні властивості:

1°.

Доведення

Оскільки в скалярному добутку можна переставляти співмножники, то . За теоремою про геометричний зміст мішаного добутку , . При цьому обидві трійки , , і , , одночасно або праві, або ліві (кажуть, що це трійки однієї орієнтації; орієнтація трійки не змінюється при циклічній перестановці її компонентів). Тому , а отже і .

З цієї властивості випливає, що внутрішні квадратні дужки (позначення векторного множення) можна не писати, і мішаний добуток позначають .

2°. .

Наслідок. При циклічній перестановці векторів мішаний добуток не змінюється, а при перестановці лише двох векторів значення мішаного добутку змінюється на протилежне.

Зауваження. Компланарність векторів , , може випливати з того, що вектор подано у вигляді лінійної комбінації векторів і .

Задача 15. Вектори , , утворюють праву трійку і , , ; ; . Знайти .

Розв’язання.

Знайдемо : , тобто . Звідси . Отже

Таким чином,

.

Запис мішаного добутку через координати векторів

Теорема 7. Якщо вектори , , задані своїми декартовими прямокутними координатами , , , то їх мішаний добуток дорівнює визначнику, рядками якого є координати даних векторів , , :

.

Доведення

Оскільки мішаний добуток , а вектор має координати

,

то помноживши цей вектор скалярно на вектор будемо мати:

,

що і потрібно було довести.

Наслідок. Необхідною і достатньою умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю визначника, складеного з координат цих векторів.

Задача 16. Знайти об’єм трикутної піраміди з вершинами в точках А(2; 2; 2), В(4; 3; 3), С(4; 5; 4), D(5; 5; 6).

Розв’язання

Об’єм V такої піраміди дорівнює одній шостій об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , :

Знайдемо координати цих векторів: , , і обчислимо об’єм:

.

Зауважимо, що трійка векторів , , є правою, бо мішаний добуток цих векторів додатний.