Расчет прямозубых цилиндрических передач на прочность

Р асчет на прочность прямозубых и косозубых цилиндрических передач стандартизован ГОСТ 21354—87. Силы в зацеплении. На рис.3.5 F_n — нормальная сила, направленная по линии зацепления как общей нормали к рабочим поверхностям зубьев. Силы, действующие в зацеплении, принято прикладывать в полюсе зацепления. При этом силу F_n переносят в полюс и раскладывают на окружную F_t и радиальную F_r. По заданным Т и d определяют

F_t=2T₁/d_w1≈2T₁/d₁ (3.1)

и через нее выражают все другие составляющие:

F_r=F_ttgα_w, F_п=F_t/cosα_w. (3.2)

Р

Рис.3.5 Схема сил в зацеплении

асчет прочности зубьев по контактным напряжениям. Расчет контактных напряжений выполняют при контакте в полюсе зацепления (рис.3.6). Контакт зубьев рассматривают как контакт двух цилиндров с радиусами ρ₁ и ρ₂. Контактные напряжения определяют по формуле:

(3.3)

Для прямозубых передач

q=F_nK_H/b_w=F_tK_H/(b_wcosa_w)=2T₁K_H/(d_w1b_wcosa_w).(3.4)

Радиусы кривизны эвольвент зубьев в точке контакта

ρ

Рис.3.6 Схема контакта в полюсе зацепления

₁=(d_w1sina_w)/2; ρ₂=(d_w2 sina_w)/2.

По формуле,

(3.5)

где u=d_w2/d_wl=z₂/z₁ знак «+»— для наружного, а «—»—для внутреннего зацепления.

Подставляя в формулу (3.3) и заменяя cosα_wsin_αw=(sin2α_w)/2, получаем

(3.6)

Параметр u=z₂/z₁ по ГОСТ 16532—70 передаточное число определяют как отношение большего числа зубьев к меньшему. Передаточное число отличается от передаточного отношения i, которое, равно отношению угловых скоростей ведущего колеса к ведомому и которое может быть меньше или больше единицы, положительным или отрицательным. Применение и вместо i связано с принятой формой расчетных зависимостей для контактных напряжений, где ρ_пр выражено через d₁, а не через d₂. Значение контактных напряжений, так же как и значение передаточного числа и, не зависит от того, какое колесо ведущее, а значение передаточного отношения i зависит. Передаточное число и относится только к одной паре зубчатых колес. Его не применяют для обозначения передаточного отношения многоступенчатых редукторов, планетарных, цепных, ременных и других передач. Значения расчетных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Расчет выполняют для колеса, у которого чаще меньше допускаемое напряжение [σ_Н].

Неизвестные параметры оценивают приближенно или выбирают по рекомендациям на основе накопленного опыта. Принимаем d_w1≈d₁; α_w≈α=20°(sin2α≈0,6428), K_Hv≈1,15 коэффициент зависит от окружной скорости v, которая пока неизвестна, поэтому принято некоторое среднее значение. При этом из составляющих коэффициента К_н остается только К_Нβ. Далее обозначаем ψ_bd=b_w/d_l — коэффициент ширины шестерни относительно диаметра.

Подставляя в формулу (3.6) и решая относительно d₁, находим

(3.7)

Решая относительно межосевого расстояния а, заменяем Т₁=Т₂/и; d₁=2a/(u±1) и вводим ψ_ba=b_w/а—коэффициент ширины колеса относительно межосевого расстояния.

После преобразований с учетом зависимости

ψ_bd=0,5 ψ_ba(и±1) . (3.8)

получим

(3.9)

В приложении к ГОСТ 21354—87 для стальных зубчатых колес формулы (8.7) и (8.9) записаны в виде

(3.10)

где K_d и К_а — вспомогательные коэффициенты, полученные в результате выноса числового значения Е_пр из под знака радикала, в формулах разные единицы одинаковых физических величин; Т—в Н·м, d и а — в мм, σ_Н—в МПа.

Для стальных прямозубых колес K_d=780(МПа)^1/3, К_а=490 (МПа)^1/3, для косозубых K_d=680 (МПа)^1/3, К_а=430 (МПа)^1/3.

Выбор модуля и числа зубьев. Значение т выбирают, ориентируясь на рекомендации, выработанные практикой, и затем проверяют на изгиб. Минимальное значение модуля определяют из условия прочности зубьев на изгиб. При этом расчете в большинстве случаев получают зацепления с мелкими зубьями, применение которых ограничено. Значение контактных напряжений σ_H не зависит от модуля или числа зубьев, а определяется их произведением или диаметрами колес. По условиям контактной прочности при d₁ модуль передачи может быть любым, при соблюдении равенства mz₁=d_l.

Крупномодульные колеса могут работать длительное время после начала выкрашивания, менее чувствительны к перегрузкам и неоднородности материала. При ориентировочной оценке значения т можно использовать рекомендации табл. 3.4.

Выбрав по этой таблице ψ_т, определяют

т= b_w/ψ_т, (3.11)

где

b_w=ψ_bdd₁=ψ_baa. (3.12)

Таблица 3.4

Конструкция	ψт=bw/m, не более
Высоконагруженные точные передачи, валы, опоры и корпуса повышенной жесткости:
Н≤350HB	45...30
Н>350НВ	30...20
Обычные передачи редукторного типа в отдельном корпусе с достаточно жесткими валами и опорами (и другие аналогичные): Н≤350HB	30...20
Н>350НВ	20..15
Грубые передачи, например с опорами на стальных конструкциях (крановые и т.п.) или с плохо обработанными колесами (литые), а также открытые передачи, передачи с консольными валами (конические), подвижные колеса коробок скоростей	15...10

Примечание. Меньшие значения ψ_т — для повторно-кратковременных режимов работы, значительных перегрузок и средних скоростей; большие значения ψ_т — для длительных режимов работы, небольших перегрузок и высоких скоростей.

Значение т согласуют со стандартом (табл. 3.1). Для силовых передач обычно рекомендуют принимать т ≥1,0 мм. При известном модуле определяют и уточняют все остальные параметры передачи.

Для передач без смещения и при x_Σ=0

d₁=2_a/(u±l); z₁=d₁/m; z₂=z_lu; d₂= mz₂; a=0,5(d₂±d₁). (3.13)

Должно быть z_l>z_min, где z_min—по табл. 8.6.

Для уменьшения шума в быстроходных передачах рекомендуют брать z₁≥25. Для окончательного значения модуля необходимо проверить прочность по напряжениям изгиба. В случае неудовлетворительного результата изменяют т и определяют новые значения z.

При проверке можно получить σ_F значительно меньше [σ_F], что не является противоречивым или недопустимым, так как нагрузочная способность большинства передач ограничивается контактной прочностью, а не прочностью на изгиб. Если расчетное значение σ_F превышает допускаемое, то применяют колеса, нарезанные с положительным смещением инструмента, или увеличивают т. В такой передаче решающее значение имеет прочность на изгиб. На практике такие случаи встречаются у колес с высокотвердыми зубьями при Н>50...60HRC (цементированные зубья).

В лияние числа зубьев на форму и прочность зубьев. На рис.3.7 показано изменение формы зуба в зависимости от числа зубьев колес, нарезанных без смещения с постоянным модулем. При z→∞ колесо превращается в рейку, и зуб приобретает прямолинейные очертания. С уменьшением z уменьшается толщина зуба у основания и вершины, а также увеличивается кривизна эвольвентного профиля. Такое изменение формы приводит к уменьшению прочности зуба. При дальнейшем уменьшении z появляется подрезание ножки зуба (штриховая линия на рис. 3.7), прочность зуба существенно снижается.

П

Рис.3.7 Схема изменения формы зуба в зависимости от числа зубьев

ри нарезании инструментом реечного типа для прямозубых передач число зубьев на границе подрезания z_min=17.

Рассмотренное влияние числа зубьев на прочность справедливо при постоянном модуле, когда с увеличением z увеличиваются и диаметры колес. При постоянных диаметрах с изменением z изменяется модуль т. В этом случае изменяются не только форма, но и размеры зуба. С увеличением z форма улучшается, а размеры уменьшаются. Уменьшение модуля снижает прочность зуба на изгиб.

С

Рис. 3.8

мещение инструмента при нарезании зубьев и его влияние на форму и прочность зубьев. На рис. 3.8 изображено два положения инструмента (рейки) при нарезании зубьев: 1— делительная плоскость р ейки (ДП) совпадает с начальной плоскостью (НП)— нарезание без смещения; 2—инструменту дано положительное смещение хт. При этом основной d_b и делительный d диаметры колеса не изменяются, так как не изменяется z (НП по-прежнему обкатывается по d, а ДП смещена на хт). Как видно из чертежа, смещение инструмента вызвало значительное изменение формы зуба. Толщина зуба у основания увеличилась, увеличилась и прочность зуба по напряжениям изгиба. Одновременно с этим заострилась головка зуба. Заострение является одной из причин, ограничивающих значение смещения инструмента. Отрицательное смещение инструмента сопровождается явлениями обратного характера.

Применяют два типа передач со смещением:

1. Шестерню изготовляют с положительным смещением (x₁>0), колесо—с отрицательным (х₂<0), но так, что

|x₁|=|x₂| или х_Σ=х₁+х₂=0.

При любом смещении сумма ширины впадины и толщины зуба по делительной окружности равна шагу р. Одинаковые по значению, но разные по знаку смещения вызывают одинаковые увеличения толщины зуба шестерни и ширины впадины колеса. Поэтому в зацеплении зубчатой пары при х_Σ=0 делительные окружности соприкасаются и являются начальными, как в передаче без смещения. Не изменяются также межосевое расстояние a_w и угол зацепления α_w:

a_w=a=0,5(d₁+d₂); α_w=α=20°.

Изменяется только соотношение высот головок и ножек зубьев.

2. Суммарное смещение х_Σ не равно нулю. Обычно х_Σ>0,а также х₁>0 и х₂>0. При положительных x₁ и х₂ делительная толщина зубьев шестерен и колеса больше р/2. Поэтому делительные окружности не могут соприкасаться. Начальными становятся новые окружности, большие, чем делительные (d_w1>d₁, d_w2>d₂). Межосевое расстояние увеличивается:

a_w=0,5(d_w1+d_w2)>а=0,5(d₁+d₂).

При этом увеличивается и угол наклона линии зацепления как общей касательной к основным окружностям, т.е. увеличивается угол зацепления: α_w>α=20°. Увеличение α_w сопровождается уменьшением коэффициента перекрытия ε_а, что является отрицательным и служит одной из причин, ограничивающих применение больших смещений. Нарезание со смещением позволяет повысить качество зубчатого зацепления.

1. Положительное смещение повышает прочность зубьев на изгиб и устраняет подрезание при малом числе зубьев (понижает z_min). Например, при z=25 увеличение х от нуля до +0,8 уменьшает Y_FS в 1,2 раза. Соответственно уменьшаются и напряжения изгиба σ_F. Можно понизить z_min от 17 до 8.

2. Увеличение α_w при x_Σ>0 повышает контактную прочность. Увеличение α_w до 25° позволяет увеличить допускаемую нагрузку до 20%.

3. При большом числе зубьев у шестерни и колеса смещение малоэффективно, так как форма зуба при значительных смещениях не изменяется. Передачи со смещением при x_Σ=0 применяют при больших и и малых z₁. В этих условиях смещения х₁>0 и х₂<0 выравнивают форму зубьев шестерни и колеса и приближают их к равнопрочности по изгибу.

Рис.3.9 Конструкция зубчатых колес.

К онструкция зубчатых колес показана на рис.3.9. Шестерни с диаметром впадин d_f, близким к диаметру вала d_В, изготовляют заодно с валом (рис.3.9,а,б). Шестерни и колеса небольшого диаметра (d_а≤200 мм) выполняют в виде дисков со ступицами или без ступиц (рис.3.9,в,г). В коробках передач применяют блоки шестерен (рис.3.9,з). Зубчатые колеса и блоки шестерен в зависимости от серийности производства изготовляют штамповкой, ковкой или точением из прутка. Коэффициент использования металла при точении шестерен из прутка равен в среднем 3, при штамповке в закрытых штампах он в 2 раза выше.

Колеса средних диаметров с d_а≤600 мм выполняют кованными облегченной конструкции (рис.3.9,д,е,ж). Толщину обода h улучшенных колес выбирают равной (2…3)m, толщину дисков С=(0,2…0,3)b, диаметры ступиц – d_ст=(1,6…1,9)d_В (где b ширина колеса, d_В- диаметр вала). Технологичная конструкция штампованного колеса показана на рис.3.9,д (диск С механически обрабатывается).

Колеса цельнолитые менее трудоемки, но по нагрузочной способности не уступают колесам кованым. Их применяют при больших диаметрах и нежестких требованиях к габаритным размерам. Иногда используют колеса, у которых зубчатый венец соединяют с диском и ступицей болтами.

Тихоходные зубчатые колеса изготавливают из чугуна или углеродистой стали.

Быстроходные – из легированной стали. Для увеличения прочности и повышения стойкости зубчатых колес против износа подвергают термической обработке после нарезания зубьев на зубонарезных станках. Поверхность зубьев колес из углеродистой стали, улучшают химико-термическим способом – цементацией и потом закалкой. Зубья быстроходных колес после термической обработки шлифуют или притирают. Применяется поверхностная закалка токами высокой частоты. Для облегчения зацепления зубчатых колес при включении посредством перемещения по валу торцы зубьев со стороны включения закругляют.

Зубчатые передачи бывают открытые и закрытые. Открытые передачи тихоходные. Они не имеют корпуса и периодически смазываются густой смазкой. Закрытые передачи заключены в корпуса. Зубчатые колеса закрытых передач смазываются или в масляной ванне, или струйкой под давлением. По быстроходности зубчатые передачи разделяют: весьма тихоходные ν<0,5, тихоходные 0,5<ν<3, среднескоростные 3<ν<15, скоростные 15<ν<40, высокоскоростные ν>40.

Конические зубчатые передачи

К

Рис.3.10 Схема конической зубчатой передачи

онические зубчатые передачи передают механическую энергию между валами с пересекающимися осями (рис.3.1,е,ж,з, 3.10). Получили распространение в редукторах общего назначения и металлообрабатывающих станках. Зацепление двух конических колес можно представить как качение без скольжения конусов с углами при вершинах и . Эти конусы называются начальными. Линия касания этих конусов ОЕ называется полюсной линией, или мгновенной осью, в относительном вращении колес. Основное применение получили ортогональные передачи с суммарным углом между осями .

Конические зубчатые передачи выполняются без смещения исходного контура. Конические колеса (рис.3.11) выполняют прямозубыми, с тангенциальными и круговыми зубьями. Прямозубые передачи применяют при окружных скоростях до 3 м/с, в прямозубых с повышенной точностью —до 8 м/с. При более высоких скоростях применяют передачи с круговыми зубьями.

Рис.3.11 Форма линий зуба конического колеса:

а — с прямыми зубьями; б — с круговыми зубьями

Геометрические параметры. Углы делительных конусов связаны с их диаметрами и числами зубьев z

(3.14)

где и= — передаточное отношение, равное передаточному числу .

Внешние делительные диаметры колес равны

(3.15)

где m_te —окружной модуль зацепления на торце.

Внешнее конусное расстояние R_e равно

(3.16)

Расчеты на прочность ведут в сечении где среднее конусное расстояние

(3.17)

где — коэффициент ширины зубчатого венца.

Значение (обычно 0,285).

Средний делительный диаметр и модуль находят из соотношений

(3.18)

Диаметр вершин зубьев равен

Рис.3.12 Основные параметры конического зубчатого колеса

Э квивалентное зубчатое колесо, эквивалентное число зубьев. При качении без скольжения плоскости по основному конусу точки прямой (например, ОЕ) опишут эвольвентную коническую поверхность зуба. Точка Е опишет эвольвенту на поверхности шара радиусом . Эвольвентное сферическое зацепление описать аналитически, а также изготовить его чрезвычайно сложно. На практике сферическую поверхность заменяют касательной конической поверхностью, образующие которой нормальны к делительному конусу Эту поверхность называют дополнительным делительным конусом. Профиль зубьев на развертке дополнительного конуса отличается от эвольвентного, так как высота зуба мала по сравнению с длиной R_e. Профиль зубьев на дополнительном конусе будет соответствовать эквивалентному цилиндрическому зубчатому колесу диаметром, равным

d_v=2O_lE = d_e/cos8. (3.19)

Эквивалентное число зубьев из зависимости равно

Для передач с круговыми зубьями по аналогии с цилиндрическими передачами

(3.20)

Исходный контур конических зубчатых колес. Коническое колесо конической передачи, которая имеет угол начального конуса 2δ=180° называется плоским (рис.3.3,г,д,е). Конические колеса с прямыми зубьями и внешним окружным модулем т_е>1 мм выполняют по ГОСТ 13754-81 со следующими параметрами (рис.3.3): α=20°, h_a*=1, С*=0,2, ρ_f=0,2 (угол профиля, коэффициент высоты головки и ножки зуба, коэффициент радиального зазора и радиуса скругления).

Согласно ГОСТ .16202-81 — для конических колес с круговыми зубьями с модулем в нормальном сечении т_n>1 мм, параметрами α_n=20°, h_a*=1, С* - 0,25, ρ_f =0,25. Нормальное расчетное сечение и угол наклона β_n выбирают на расстоянии R_m .

Осевая форма зуба. Назначается при проектировании и в некоторой степени связана с диаметром d₀ резцовой головки. Диаметры резцовых головок стандартизованы.

Осевая «форма 1» (рис.3.13,а) — пропорционально понижающиеся зубья. Вершины конусов делительного и впадин совпадают. Эту форму применяют для прямых и круговых зубьев с т_п≤2,5 мм.

Осевая «форма 2» (рис.3.13,б,в) — вершины конусов не совпадают и располагаются так, что ширина дна впадины колеса постоянна. Это позволяет обрабатывать одним резцом обе поверхности зубьев впадины, не раздвигая резцы при настройке станка. Эта осевая форма зубьев является основной для круговых зубьев с модулями т_п=0,4...25 мм, z_c≥24.

Осевая «форма 3» (рис.3.13,г) — равновысокие зубья. Образующие конусов делительного, вершин и впадин зубьев параллельны. Высота зуба постоянна по всей длине. Эту форму применяют для т_п=2...25, z_c ≥40.

Геометрический расчет. Зависит от зацепления колес, измерительных размеров, от осевой формы зубьев. Основные геометрические параметры приведены выше.

Угол наклона зубьев. Назначается на среднем конусном расстоянии. Увеличение угла наклона повышает плавность работы, но увеличивает осевую нагрузку на опоры валов. Преимущественно применяют β_m=35°.

Передаточное число и число зубьев. Понижающие конические передачи выполняют с передаточным числом и=1...10. Повышающие — не более 3. Большие передаточные числа усложняют конструирование шестерни и ее узла подшипников. Обычно и<6.

Число зубьев шестерни следует выбирать больше минимально допустимого числа ее зубьев по рис.3.14 и табл. 3.5.

Таблица 3.5 Минимально допустимые числа зубьев шестерни

Передаточное число и	z1 при β°
	0	35
1	17	17
1,6	15	14
2	13	11
≥3,15	12	8

П ри этом передачи получаются равнопрочными по контактным и изгибным напряжениям.

Число зубьев колеса z₂=z₁u . При окончательном выборе следует учесть рекомендацию по числу зубьев z_c плоского колеса.

К

Рис.3. 14. График для определения чисел зубьев шестерни: а — с круговым зубом; б — прямозубой

оэффициенты смещения. Для равносмещенной передачи принимают у шестерни положительное смещение, у колеса—отрицательное, равное по абсолютной величине х₂=-х₁,

Для прямозубых колес cosβ_m=1.

Для достижения равнопрочности по изгибу зубьев колес увеличивают расчетную толщину зуба шестерни, а у колеса уменьшают на такую же величину посредством разведения резцов. Коэффициент тангенциального смещения, характеризующий изменение толщины зуба при и>2,5, определяют по формуле

С илы в зацеплении. Результирующую силу F_n, действующую в нормальной плоскости к поверхности зуба, раскладываем на составляющие: окружную F_t, радиальную F_r и осевую F_a. Известен вращающий момент Т, Н·м, и следовательно, известна окружная сила на среднем делительном диаметре. Выразим через окружную силу другие составляющие (рис.3.15, сечение О₂О₁)