1.2.3 Оцінювання випадкових похибок при точних вимірюваннях

При використанні засобів вимірювання підвищеної точності, якщо навіть повністю виконати систематичні та грубі похибки, на результати вимірювання будуть впливати різні випадкові фактори, що не піддаються обліку і контролю, наприклад: фізіологічний стан органів відчуття дослідника, випадкові вібрації окремих частин (деталей) вимірювального комплексу, не враховані зміни зовнішніх факторів (температура та тиск навколишнього середовища тощо) та т.п. Все це приводить до того, що результати окремих вимірювань мають характер випадкового розсіювання. Реальні закони розподілення результатів цих вимірювань дуже різноманітні [2, 3]. На практиці використовують ідеалізовані закони розподілення випадкових похибок [1, 2, 3] і зокрема найчастіше нормальний закон (Гаусове розподілення) і розподілення Стьюдента [1, 2, 4].

Нормальний закон розподілення похибок (рисунок 1.1) можна описати такою залежністю [1, 2]:

,

(1.11)

де f(x) – щільність ймовірності вимірюваних значень фізичної величини; т – математичне очікування, яке є найбільш ймовірним значенням вимірюваної величини х; _п – середнє квадратичне відхилення вимірюваної величини х. Математичне очікування є середнім арифметичним значенням х:

,

(1.12)

С ереднє квадратичне відхилення розраховується за формулою

,

(1.13)

Після інтегрування (1.11) на інтервалі від 0 до х, знайдемо

,

(1.14)

де Р – ймовірність попадання випадкового результату вимірювання в будь який інтервал (хт) на осі абсцис.

При введені безпосереднього інтервалу , що зручно при практичних розрахунках, залежність (1.14) набуде вигляду

,

(1.15)

де Ф(γ) – функція нормального розподілення, для якої складено таблиці [4].

Ймовірність Р чисельно дорівнює площі під кривою (див. рисунок 1.1) для будь якого інтервалу (хт).

Дослідження властивостей закону нормального розподілення показує, що на ділянках від (т - σ_п) до (т + σ_п) розміщується 62,28% всіх виконаних вимірювань, а в межах від (т - 2σ_п) до (т + 2σ_п) – вже 95,46%. За межі ділянок від (т - 3σ_п) до (т + 3σ_п) виходить лише 0,28% вимірювань [1].

Середнє квадратичне відхилення σ_п визначає форму кривої нормального розподілення, наприклад, якщо змінити точність вимірювання величини х, то розсіювання результатів знову ж таки буде відбуватись біля центру з попередньою абсцисою т, але форма кривої (див. рисунок 1.1) зміниться, оскільки σ_п залежить від точності вимірювань.

При оцінюванні випадкових похибок у випадку точних вимірювань кінцевого методу цих вимірювань є визначення похибки середнього арифметичного значення вимірювання величини х, яке дорівнює математичному очікуванню т (див. (1.12)).

У відповідності з теорією похибок [4] за оцінку точності вимірювання середнього арифметичного величини , прийнятого за істинне значення вимірюваної величини, приймається середнє квадратичне відхилення

,

(1.16)

яке в менше середнього квадратичного відхилення результатів окремих вимірювань.

Для надійності оцінювання випадкових похибок необхідно вказувати довірчий інтервал, в якому із заданою ймовірністю знаходиться значення вимірюваної величини. Щоб оцінювання похибок при використані нормального закону розподілення було надійним, необхідно велике число п вимірювань однієї ж і тієї величини (практично п>200 [1, 2]), що робить процес вимірювання дуже трудомістким. З метою зменшення кількості вимірювань застосовують інші, відмінні від нормального, закони розподілення похибок, наприклад, для оцінювання довірчого інтервалу користуються розподіленням Стьюдента, яке оперує скінченним числом вимірювань (при п розподілення Стьюдента збігається з нормальним). Згідно з цим розподіленням, межі довірчого інтервалу для вимірюваної величини х, при заданій довірчій ймовірності Р_д і обмеженому числі спостережень п, записуються у вигляді [1, 2]

,

(1.17)

де - коефіцієнт Стьюдента, значення якого залежить від числа вимірювань (п-1) та довірчої ймовірності Р_д і приводять у відповідних таблицях довідників [2, 4].

При оцінюванні випадкових похибок з розгляду повинні бути виключені грубі помилки (промахи) як такі, що не заслуговують довіри. На практиці не розглядають результати вимірювань, похибки яких перевищують значення [2].

Для правильного визначення випадкової складової похибок при непрямих вимірюваннях залежність y=f(x₁, x₂,...,x_n) повинна бути лінеаризованою з достатньою точністю, тоді середнє квадратичне відхилення величини у в результаті прямих незалежних вимірювань величини х_і, вільних від систематичних похибок вимірювання, може розраховуватись за формулою [1].

,

(1.18)

де – середнє квадратичне відхилення результатів вимірювання величин , які є середнім арифметичним окремих значень вимірювання величин x₁, x₂,...,x_n. Якщо безпосередньо вимірювані величини x₁, x₂,...,x_n різнорідні, то тоді користуються відносними похибками.