1.2.4 Особливості оцінки похибок вимірювальних систем при їх використані для технічних вимірювань

Вимірювальні системи, які використовуються для технічних вимірювань, як правило, складаються з первинного (давача) і проміжного (або лінії зв’язку) перетворювачів та вимірювального приладу (або аналого-цифрового перетворювача перед входом в ЕОМ). Оцінювання похибок вимірювальних систем при технічних вимірюваннях може виконуватись за двома методами.

За першим методом похибку оцінюють межами допустимих, основної та додаткової, похибок вимірювання (див. п.1.2.2), яку знаходять із суми квадратів границь допустимих похибок складових елементів [1, 2]:

,

(1.19)

Більш близькі до дійсності оцінки дозволяє отримати другий, ймовірнісно-статистичний метод, але, щоб скористатись цим методом, потрібно знати статистичні характеристики систематичної та випадкової складових похибок. Наприклад, є система, що складається з декількох послідовно увімкнених перетворювачів з коефіцієнтами перетворення, рівними одиниці, математичне очікування випадкових складових дорівнює нулю, тоді математичне очікування похибок буде рівним сумі систематичних складових похибок Δ_і окремих перетворювачів вимірювальної системи:

,

(1.20)

Якщо випадкові похибки вимірювальної системи статистично незалежні, то середньо – квадратичне відхилення результату вимірювання σ_в.с знаходиться за формулою [2, 3]:

,

(1.21)

де - дисперсії випадкових складових засобів вимірювання (тут х_і – показання і-го вимірювання для окремого перетворювача; - математичне очікування, яке є середнім арифметичним п вимірювань стосовно окремого перетворювача).

1.3 Обробка результатів вимірювань

Як вже було відмічено у попередніх підрозділах для знаходження істинного значення деякої величини х виконують п незалежних вимірювань цієї величини: x₁, x₂,...,x_n. При нормальному законі розподілення випадкових величин x_і (де і=1,2,...,п) за істинне значення вимірюваної величини приймають середнє арифметичне величин x_і (див. (1.12)), а середньо – квадратичну помилку σ_п вимірювання величини x розраховують за формулою (1.13). Кількість необхідних вимірювань п, щоб розраховані значення та σ_п були достовірними визначають вибором довірчого інтервалу на основі заданої або відповідним чином обґрунтованої довірчої ймовірності того, що задана величина буде істинною.

Якщо в результаті деякого досліду за знайденими точками, які є середнім арифметичним п вимірювань на кожному із заданих етапів досліду (режимів роботи установки тощо), побудувавши графік експериментальної залежності, наприклад, y = f(x), то виявиться деяка розбіжність, тобто випадкове відхилення від видимої загальної закономірності. Ця розбіжність обумовлена помилками вимірювань, яких не можна уникнути в будь-якому досліді, тому при експериментальних дослідженнях виникає задача, яким чином найкраще обробити експериментальні дані, щоб якомога точніше відобразити загальну тенденцію залежності y = f(x) і загладити незаконні випадкові відхилення.

За звичай для розв’язання таких задач використовується метод найменших квадратів, який запропонував видатний німецький математик Гаус [1, 3, 4].

Згідно з методом найменших квадратів сума δ² квадратів відхилень експериментальних точок у_іе від істинних ординат y_і=f(x_і,α_j) (тут α_j=α₁, α₂,..., α_m – параметри функції y_і, які уточнюють в дослідах) буде найменшою, якщо частинні похідні цієї суми рівні нулю:

,	(1.22)
,	(1.23)

тут (1.22) – сума квадратів відхилень у_іе від у_і, а (1.23) – частинні похідні δ² по α_j.

Метод найменших квадратів може застосовуватись для уточнення відомого із фізичного змісту задачі виду експериментальної кривої y_е=f(x_е), а також шляхом послідовного перебирання аналітичних залежностей у від х (лінійна, квадратична, степенева і т.д.) для підбору емпіричної формули, яка найбільш точно відображає експериментальну криву.

Проілюструємо застосування методу найменших квадратів для уточнення виду експериментальної кривої y_е=f(x_е) на такому прикладі. Нехай з фізичного змісту задачі відомо, що залежність y=kx+b – лінійна функція. З досліду знайдена сукупність значень, x_іе та y_іе а також припустимо, що x_іе=x_і установлюється без помилок. Застосовуючи (1.22), знайдемо

,

(1.24)

Продиференціювавши (1.24) по k та b згідно з (1.23), матимемо систему рівнянь:

(1.25) (1.26)

Із (1.26) знаходимо

,

(1.27)

де ; .

Знайдене значення b підставляємо у рівняння (1.25) і після перетворень отримаємо:

,

(1.28)

звідки

,

(1.29)

де ; .

Підставляючи (1.27) та (1.29) в залежність y=kx+b, отримаємо емпіричну формулу, яка найточніше відображає експериментальну криву y_е=f(x_е):

.

(1.30)

Слід звернути увагу, що в розглянутому прикладі та є середніми арифметичними експериментальних значень y_іе та x_іе.