Лабораторная работа № 4

ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

Цель работы: проверка законов динамики материальной точки, получение навыков построения графиков и учета систематических ошибок.

Теоретический материал.

Определение материальной точки. Описание перемещения, скорости и ускорение материальной точки в векторной и координатной форме. Прямолинейное движение материальной точки. Физическое содержание I закона Ньютона. Сила как мера интенсивности взаимодействия тел. Второй закон Ньютона. Масса. Импульс. III закон Ньютона.

В любой системе материальных тел есть одна замечательная точка С – центр инерции или центр масс, которая имеет ряд интересных и важных свойств. Определим положение этой точки относительно начала О данной системы отсчета радиус-вектором таким образом:

, (1)

где и – масса и радиус-вектор і-го тела, - масса всей системы.

В проекциях на координатные оси:

, , . (1a)

В случае однородного твердого тела, который имеет центр симметрии, центр масс совпадает с центром симметрии. Если тело имеет ось симметрии, то центр масс лежит на этой оси. В более сложных случаях координаты центра масс находятся или путем расчетов, или экспериментально. Отметим также, что в однородном поле силы тяжести центр инерции системы совпадает с ее центром тяжести.

Найдем скорость движения центра масс. Взяв производную от (1) по времени, получим

, (2)

где - импульс -го тела.

Для импульса системы , из (2) будем иметь:

, (3)

т.е. импульс системы равняется произведению массы системы на скорость движения ее центра масс.

Учитываем, что

, (4)

где – результирующая всех внешних сил, которые действуют на систему. Из (2) и (4) получим

. (5)

Уравнение (5) называется уравнением движения центра масс. Согласно этому уравнению, при движении любой системы тел (в инерциальной системе отсчета), ее центр масс двигается так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложенны все внешние силы, которые действуют на систему. При этом ускорение центра масс совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Из (5)следует, что когда , то , ведь .Таким, в частности, является случай замкнутой системы. Кроме того, если , то, согласно (3), импульс системы также является константой. Т.е., если центр масс системы двигается равномерно и прямолинейно, то ее импульс сохраняется в процессе движения. Уравнение (5) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на случай системы тел.

Целью данной работы является экспериментальная проверка теоремы о движении центра масс. Для этого используется машина Атвуда, дополненная некоторыми деталями.

Два грузика А и В (см.рис.1), массы которых одинаковы и равны 0,5 кг, висят на двух параллельных нитях, перекинутых через блоки С и Д.

Использование двух параллельных нитей не дает возможности грузикам вращаться вокруг их вертикальных осей. Грузик А имеет форму цилиндра, Грузик В состоит из двух полуцилиндров, составленных своими плоскостями так, что между ними существует щель. Центр масс этого грузика находится на тонком проводе, который соединяет две его половины.

Приблизительно на середине прямой, соединяющей центры масс свободно висящих грузиков, размещен рычаг Р, который может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси О и перемещаться поступательно в плоскости обращения. Это позволяет выставить острый конец рычага Р в центре масс грузиков А и В и зафиксировать такое положение рычага зажимным винтом.

К острому конца рычага прикреплена нить Z. Она проходит в щель рычага В через его центр масс (нить перекинута через провод в щели) и опускается вертикальную вниз между двумя полуцилиндрами. Она все время натянута, поскольку на ее нижнем конце закреплен грузик Е. На грузике В симметрично с двух его концов прикрепленны крючки (на рис. 1 не указаны), на которые можно подвешивать дополнительный груз. При нагрузке дополнительными грузиками (массой грузика Е пренебрегаем) центр масс системы смещается вдоль нити Z (ось Х). Когда система двигается (грузик В ‑ вертикально вверх, грузик А ‑ вертикально вниз), центр масс двигается вниз вдоль оси Y, оставаясь все время на линии натянутой нити.

Итак, за движущимся центром масс можно следить как за движением определенной и фиксированной точки пересечения нити Z и вертикальной прямой Y. Этой прямой является левый край металлической линейки R с делениями, способной перемещаться параллельно самой себе в вертикальной плоскости. Перемещение линейки достигается тем, что она свободно подвешена к краю диска С, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Вращение диска по часовой стрелке дает перемещение линейки вправо и наоборот. Зажимным винтом диск, а значит и линейка могут быть закрепленны в нужном положении.

Для удержания грузиков (при наличии дополнительного груза на грузике В) в покое используется электромагнит N. Включенный электромагнит удерживает грузик. При размыкании ключа электромагнит отключается и включается электросекундомер, который фиксирует начало движения. Время движения определяется по электросекундомеру, который останавливается в тот момент, когда грузик В достигает нижней платформы, на которой имеется электрический контакт для выключения секундомера.

В условиях данной задачи, х - координата центра масс остается неизменной и равной

, (6)

где – масса грузика В и всех дополнительных грузиков на нем;

- масса грузика А;

и – их горизонтальные координаты, которые отсчитываются от конца рычага Р.

Y-компонента центра масс двигается вдоль вертикали, которая совпадает с левым краем линейки R, с ускорением которое может быть найдено из уравнения движения центра масс (5). Оно в данной ситуации имеет вид

. (7)

Здесь и ‑ натяжение нитей грузиков В и А соответственно.

Уравнение движения для грузиков В и А (пренебрегая силами их трения в воздухе) имеют вид

, (8)

. (9)

Здесь – ускорение движениягрузиков, нить считаем невесомой и нерастяжимой, за положительное направление принято направление вектора .

Из уравнений (8) и (9) получим

. (10)

Пренебрегая массой блоков С и П по сравнению с массой грузиков А и В можно разность отождествить с силой трения в осях двух блоков, т.е. считать

, (11)

где – масса дополнительного тягарця при определении силы трения (см. ниже). С учетом (11), формула (10) принимает вид

. (12)

Из уравнений (7), (8), (9) получим

. (13)

Подставив (12) в (13), окончательно имеем

. (14)