3. Тео­ре­ма о сумме внут­рен­них углов вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка

Для опи­са­ния свойств мно­го­уголь­ни­ков су­ще­ству­ют две важ­ней­шие тео­ре­мы об их углах: тео­ре­ма о сумме внут­рен­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка и тео­ре­ма о сумме внеш­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка. Рас­смот­рим их.

Тео­ре­ма. О сумме внут­рен­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка (n-уголь­ни­ка).

, где   – ко­ли­че­ство его углов (сто­рон).

До­ка­за­тель­ство 1. Изоб­ра­зим на Рис. 4 вы­пук­лый n-уголь­ник.

Рис. 4. Вы­пук­лый n-уголь­ник

Из вер­ши­ны   про­ве­дем все воз­мож­ные диа­го­на­ли. Они делят n-уголь­ник на   тре­уголь­ни­ка, т.к. каж­дая из сто­рон мно­го­уголь­ни­ка об­ра­зу­ет тре­уголь­ник, кроме сто­рон, при­ле­жа­щих к вер­шине  . Легко ви­деть по ри­сун­ку, что сумма углов всех этих тре­уголь­ни­ков как раз будет равна сумме внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка. По­сколь­ку сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка –  , то сумма внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­тель­ство 2. Воз­мож­но и дру­гое до­ка­за­тель­ство этой тео­ре­мы. Изоб­ра­зим ана­ло­гич­ный n-уголь­ник на Рис. 5 и со­еди­ним любую его внут­рен­нюю точку со всеми вер­ши­на­ми.

Рис. 5.

Мы по­лу­чи­ли раз­би­е­ние n-уголь­ни­ка на n тре­уголь­ни­ков (сколь­ко сто­рон, столь­ко и тре­уголь­ни­ков). Сумма всех их углов равна сумме внут­рен­них углов мно­го­уголь­ни­ка и сумме углов при внут­рен­ней точке, а это угол   . Имеем:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

По до­ка­зан­ной тео­ре­ме видно, что сумма углов n-уголь­ни­ка за­ви­сит от ко­ли­че­ства его сто­рон (от n). На­при­мер, в тре­уголь­ни­ке  , а сумма углов  . В че­ты­рех­уголь­ни­ке  , а сумма углов –   и т.д.

4. Тео­ре­ма о сумме внеш­них углов вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка

Тео­ре­ма. О сумме внеш­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка (n-уголь­ни­ка).

, где   – ко­ли­че­ство его углов (сто­рон), а  , …,   – внеш­ние углы.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим вы­пук­лый n-уголь­ник на Рис. 6 и обо­зна­чим его внут­рен­ние и внеш­ние углы.

Рис. 6. Вы­пук­лый n-уголь­ник с обо­зна­чен­ны­ми внеш­ни­ми уг­ла­ми

Т.к. внеш­ний угол свя­зан со внут­рен­ним как смеж­ные, то   и ана­ло­гич­но для осталь­ных внеш­них углов. Тогда:

.

В ходе пре­об­ра­зо­ва­ний мы вос­поль­зо­ва­лись уже до­ка­зан­ной тео­ре­мой о сумме внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка  .

До­ка­за­но.

Из до­ка­зан­ной тео­ре­мы сле­ду­ет ин­те­рес­ный факт, что сумма внеш­них углов вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка равна   от ко­ли­че­ства его углов (сто­рон). Кста­ти, в от­ли­чие от суммы внут­рен­них углов.

Далее мы более по­дроб­но будем ра­бо­тать с част­ным слу­ча­ем мно­го­уголь­ни­ков – че­ты­рех­уголь­ни­ка­ми. На сле­ду­ю­щем уроке мы по­зна­ко­мим­ся с такой фи­гу­рой, как па­рал­ле­ло­грамм, и об­су­дим его свой­ства.

До­маш­нее за­да­ние

1. Су­ще­ству­ет ли вы­пук­лый мно­го­уголь­ник, сумма углов ко­то­ро­го равна: а)  ; б)  ; в)  ?

2. Най­ди­те углы че­ты­рех­уголь­ни­ка, если они про­пор­ци­о­наль­ны чис­лам 2, 3, 10 и 21. Вы­пук­лый или невы­пук­лый этот че­ты­рех­уголь­ник?

3. Вер­ши­ны вы­пук­ло­го пя­ти­уголь­ни­ка со­еди­не­ны через одну. Най­ди­те сумму углов при вер­ши­нах по­лу­чен­ной «звез­ды».

Урок 6: Параллелограмм

Данный урок посвящен одному из видов выпуклых четырехугольников, а именно – параллелограмму. Параллелограмм – один из частных видов четырехугольников, который включает в себя такие подвиды, как прямоугольник, ромб, квадрат – фигуры, с которыми каждый из нас знаком еще с детства. Мы рассмотрим определение и свойства параллелограмма, а также решим несколько примеров с использованием этих свойств.