Аналитическая оптимизация технологической операцИи

1. Анализ операции.

В порядке сравнения анализируем рассмотренную ранее операцию точения (рис. 1).

Рис. 1

2. Постановка задачи.

Для заданных условий токарной операции найти частоту n и подачу S, обеспечивающих минимум трудоёмкости  и гарантирующих требуемое качество обработки.

3. Разработка математической модели.

3.1. Целевая функция.

Аналогично (1.1) целевая функция включает три слагаемых:

t=t_в+t₀+t_и=¦(s, n)=min (1)

Вспомогательное время

t_в¹¦(s, n)=const (2)

Основное время

t₀= (3)

Затраты времени на режущий инструмент

t_и=t_{1 ;} Т= ; t_и=t₁ ;

t_и= (4)

Подставив раскрытые значения слагаемых в целевую функцию (1), получим выражение для критерия трудоемкости в развернутом виде.

(5)

3.2. Технические ограничения.

Для упрощения анализа будем рассматривать только следующие активные ограничения:

1. достаточность стойкости инструмента для обработки одной заготовки

Т_max ³ T ³ t₀ (6)

2) расчетные частоты и подачи должны принадлежать сетке режимов станка

S Î S_CT (7)

n Î n_CT (8)

3. предельная технологичная подача не должна превышать подачу, допускаемую уровнем шероховатости

S £ S _Ñ = 0.5 мм/об. (9)

Выражения (5) – (9) представляют собой математическую модель трудоёмкости рассматриваемой операции для двух неизвестных.

Расположим расчётные зависимости в алгоритмическом поряд-

ке (табл. 1).

Таблица 1

Мат. мод.	№ пп	Обоз- начен.	Ф о р м у л а	Расчётная зависимость
Це- ле- вая функ- ция	1	t0	L/(Sn)	500/(Sn)
	2	T	CT/(S	4 х 1011/(S
	3	tи	t1t0/Т	6t0/Т
	4	t	tв + t0 + tи	4 + t0 + tи
Тех- ни- чес- кие огра- ниче- ния	5	Т	400 ³ Т ³ t0
	6	n	n Î nст
	7	S	S Î Sст
	8		S £ SÑ = 0.5

4. Анализ математической модели.

Целевая функция (5) - нелинейная двухмерная зависимость трудоёмкости от частоты и подачи, имеющая минимум при S₀ и n₀.

Построим геометрическую иллюстрацию математической модели на плоскости (рис. 2).

М М

О

С

Рис. 2

Получим условие для расчета координат линии АВ, огра-ничения (6)

T ³ t₀

n ^M-1

(10)

Или в численном виде

(10 а)

Результаты табулирования n_т по (10 а) приведены в табл. 2

Таблица 2

S	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
nT	1715	1425	1280	1185	1117	1064

Получим выражение для построения линии минимумов МЕ из условия равенства нулю первой производной.

откуда

(11)

Или в численном виде

(11a)

Результаты табулирования n₀ по (11 а) приведены в табл. 3

Таблица 3

S	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
n0	1203	887	734	645	583	538
tmin	10.3	8.18	7.37	6.86	6.53	6.29

На рис. 3 ОАВС - область допустимых решений на дискрет-ной сетке режимов станка.

Характер целевой функции (5) иллюстрируется изолиниями 5,

а вертикали 7 и горизонтали 8 характеризуют соответственно огра-

ничения (7) и (8). Любая точка пересечения горизонталей и

вертикалей в допустимой области одновременно удовлетворяет огра-

ничениям 7 и 8. Вертикаль 9 является геометрической иллюстрацией

ограничения (9).

Построим по данным рис. 2 топографию трудоёмкости (рис.3)

Рис. 3

Топография трудоёмкости представляет собой «овражную» поверхность с изогнутым дном МЕ, понижающимся с увеличением подачи и снижением частоты.

Задача относится к классу задач нелинейного программирования, так как целевая функция и технические ограничения нелинейны.

В технологических задачах решение всегда находится на границе допустимой области (точка Е).

5. Методы оптимизации.

Сделаем попытку найти минимум трудоёмкости методом частных производных. Для этого запишем целевую функцию в численном виде.

(5а)

(12)

(13)

Система двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными (13), правые части которой равны, а левые не равны, называется несовместной, она не имеет решения, так как экстремум находится на границе области.

Задача нелинейного программирования может быть решена

следующими методами.

1) графическим (рисунок 2);

2) методом сканирования (перебора);

3) методом релаксации (покоординатного улучшения или методом Гаусса-Зейделя);

4) градиентным методом;

5) методом наискорейшего спуска;

6) случайным поиском;

7) методом крутого восхождения;

8) симплексным поиском.

Некоторые из перечисленных методов будут рассмотрены

далее на конкретных примерах.