1. Кривуца в.Г., Барковський в.В., Барковська н.В.Вища математика. Київ, цул, 2003.

2. Литвин і.І., Конончук о.М., Желєзняк г.О. Вища математика. Київ, цул, 2004.

3. Богомолов м.Н. Практичні заняття з математики. Київ, Вища школа, 1986.] Теоретична частина

Загальний вигляд лінійного диференціального рівняння І порядку наступний:

y+f(x)y = g(x) ,

де f(x), g(x) - задані функції.

При g(x) =0 дане рівняння називають лінійним однорідним диференціаль-ним рівнянням. Воно має вигляд y = f(x) у і розв’язується методом відокремлення змінних.

Якщо f(x) =0, то одержимо рівняння y = g(x), яке розв’язується простим інтегруванням.

Один з методів розв’язку лінійного диференціального рівняння полягає у введенні заміни невідомої функції у(х) на добуток двох невідомих функцій u(x) та v(x). Тоді схема знаходження розв’язку наступна:

• підставимо добуток u(x)v(x) в рівняння:

(uv)+f(x)(uv) = g(x), uv+uv+f(x)uv =g(x) ;

• згрупуємо отримані доданки:

uv+u(v+vf(x)) = g(x) ;

• функцію v(x) шукатимемо з умови v+vf(x) = 0 ;

• знайдену функцію v = v(х), підставимо в рівняння, одержимо uV(х) = g(x) ;

• з останнього рівняння знайдемо функцію u = U(x) +C ;

• запишемо загальний розв’язок рівняння як добуток знайдених функцій :

y = v(x)(u(x)+C) .

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

y-yctgx = sinx .

Розв’язання: Дане рівняння є лінійним. Нехай y = uv, тоді y= uv+uv і рівняння набуде вигляду

uv+uv-uvctgx = sinx ,

або

uv+u(v- vctgx) = sinx .

Знайдемо функцію v з умови v -vctgx = 0. Тоді для пошуку u отримаємо рівняння uv = sinx .

Розв’яжемо рівняння v- vctgx = 0, отримаємо:

v = sinx .

Підставивши значення v в рівняння uv = sinx і розв’язуючи його, знайдемо u:

usinx = sinx, u = 1, du = dx, u = x+C .

Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд y = (x+C)sinx .

Приклад 2. Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння

при умові: у = 0, якщо х = 0.

Розв’язання: Нехай у = uv, тоді y = uv+uv. Рівняння набуде вигляду , або . Нехай v+2xv = 0, тоді .

Інтегруючи, отримаємо lnv = -x², або .

При рівняння матиме вигляд:

, звідки .

Загальний розв’язок даного диференціального рівняння . Підставивши в загальний розв’язок початкові умови, отримаємо: 0 = е⁰(0+С),

звідки С = 0. Отже, частковий розв’язок даного рівняння при заданій умові .

Рівнянням Бернуллі. називають диференціальне рівняння, яке має вигляд

Схема розв’язку такого рівняння наступна:

• ділимо праву та ліву частині рівняння на ;

• вводимо заміну ;

• одержуємо лінійне диференціальне рівняння першого порядку відносно

допоміжної функції z ;

• розв’язуємо лінійне диференціальне рівняння і знаходимо функцію z ;

• із співвідношення знаходимо функцію у.

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язання Застосуємо наведену схему:

• поділимо дане рівняння на :

• введемо заміну

• підставимо і одержимо лінійне рівняння

• розв’яжемо отримане лінійне рівняння, використавши формулу з п.3 ;

• із співвідношення знаходимо функцію :

Відповідь:

Практична частина

Знайти загальний розв’язок лінійних диференціальних рівнянь І порядку:

Розв’язати задачу Коші для лінійних диференціальних рівнянь І порядку

1. у+2ру = е^-2рх , у(0) = 0

2. у+4у = х²е^-4х , у(0) =

3. х²у+5ху+4 = 0 , у( ) = 62

4. ху+у = cosx ,

Знайти загальний розв’язок рівняння Бернуллі

Контрольні запитання.

1. Які види розв’язків має диференціальне рівняння?

2. Який розв’язок диференціального рівняння називається загальним?

3. Який розв’язок диференціального рівняння називається частковим?

4. Яку задачу називають задачею Коші?

5. Запишіть загальний вигляд лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.

6. Якою є схема к розв’язку лінійного диференціального рівняння першого порядку?

7. Записати загальний вигляд рівняння Бернуллі.

8. Якою є схема к розв’язку рівняння Бернуллі.

Тема: Розв’язуватня однорідних лінійніих диференціальних рівнянь ІІ порядку з постійними коефіцієнтами

Мета: Навчитись розв’язувати лінійні диференціальні рівняння ІІ порядку з постійними коефіцієнтами

Література: