1. Кривуца в.Г., Барковський в.В., Барковська н.В.Вища математика. Київ, цул, 2003.

2. Литвин і.І., Конончук о.М., Желєзняк г.О. Вища математика. Київ, цул, 2004.

3. Богомолов м.Н. Практичні заняття з математики. Київ, Вища школа, 1986.] Теоретична частина

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами називається рівняння виду:

у+py+qy = f(x) ,

де p i q - числа.

Якщо f(x) = 0, то диференціальне рівняння називається лінійним однорідним і має вигляд:

у+py+qy =0.

Рівняння k²+kp+q = 0 називають характеристичним.

Воно визначає ті значення k – при яких функція у = е^kx є частковим розв’язком лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Можливі наступні випадки:

№ п/п	Корені характеристич-ного рівняння	Часткові розв’язки диференціального рівняння	Загальний розв’язок диференціального рівняння
1	k1  k2
2	k1 = k2
3	k1,2=  і	y1 = еxcosx y2= еxcosx	y = еx(C1 cosx+C2sinx)

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

у-5у+6у = 0 .

Розв’язання: Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:

k²-5k+6 = 0, D = 25-24 = 1 ,

Корені характеристичного рівняння є дійсними і різними, тому у₁ = е^2x ,

у₂ = е^3x - часткові розв’язки, а у = С₁ е^2x +С₂ е^3x - загальний розв’язок диференціального рівняння.

Приклад 2. Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння:

у-2у+у = 0 для початкової умови у(0) = 4; у (0) = 2 .

Розв’язання: Характеристичне рівняння k²-2k+1=0, або (k-1)²= 0 має дійсні рівні корені k₁= k₂=1, тому у₁= е^х, у₂= хе^х – часткові розв’язки, а

у = е^х(С₁+С₂х) – загальний розв’язок даного диференціального рівняння.

Для визначення часткового розв’язку спочатку знайдемо похідну у функції

у = е^х(С₁+С₂х) :

у = е^х(С₁+С₂х)+ (е^х)(С₁+С₂х) = е^хС₂+е^х (С₁+С₂х) = е^х(С₁+С₂+С₂х).

Тепер підставимо початкові умови у вирази для у і у 

або , звідки С₁= 4, С₂= -2 .

Підставивши ці значення в загальний розв’язок, знайдемо частковий розв’язок диференціального рівняння при даних початкових умовах:

у = е^х(4-2х) .

Практична частина

Завдання 1.

Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь:

Завдання 2.

Розв’язати задачу Коші:

Контрольні запитання

1. Які рівняння називають диференціальними ?

2. Що таке порядок диференціального рівняння ?

3. Що таке загальний розв’язок диференціального рівняння ?

4. Що таке частковий розв’язок диференціаоьного рівняння

5. Яка задача приводить до одержання часткового розв’язку ?

6. Які дифекренціальні рівняння називають лінійними ?

7. Які лінійні рівняння називають однорідними ?

8. Запишіть загальний вигляд лінійного однорідного диференціального рівняння ІІ порядка з постійними коефіцієнтами

9. Що називають характеристичним рівнянням лінійного однорідного диференціального рівняння ІІ порядка з постійними коефіцієнтами ?

10. Від чого залежить загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння ІІ порядка з постійними коефіцієнтами

11. Як записуються розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння ІІ порядка з постійними коефіцієнтами в залежності від розв’язків характеристичного рівняння ?