Структура курсовой работы

При выполнении курсовой работы необходимо придерживаться следующей структуры:

титульный лист;

бланк задания;

реферат;

содержание;

введение;

основные разделы;

заключение;

список использованных источников;

приложения;

Презентация к защите курсовой работе (10 стр. и более).

Все материалы: курсовая работа, расчеты и презентация должны прилагаться к курсовой работе на СD-диске.

При оформлении курсовой работы необходимо руководствоваться правилами оформления текстовых документов по ГОСТ 7.32 – 2001.

Основные положения ГОСТ 7.32 – 2001 приведены в приложении 4.

Реферат подшивается к курсовой работе, но не нумеруется и в общую нумерацию страниц отчета не включается. Образец оформления реферата к курсовой работе приведен в Приложении 3. Объем реферата - 1 страница.

Реферат к курсовой работе должен содержать:

- текст реферата, отражающий объект, предмет и цель исследования, выявленные проблемы, слабые стороны, узкие места, а также рекомендуемые пути совершенствования деятельности организации;

- сведения об объеме курсовой работы, количестве рисунков, таблиц, приложений, использованных источников;

- перечень ключевых слов (от 5 до 15), которые в наибольшей степени характеризуют содержание курсовой работы;

- цель исследования.

1. Теоретическая часть

До начала XIX в. учёные не имели определённых правил для решения системы уравнений, в которой число неизвестных меньше, чем число уравнений; до этого времени употреблялись частные приёмы, зависевшие от вида уравнений и от остроумия вычислителей, и потому разные вычислители, исходя из тех же данных наблюдений, приходили к различным выводам. Гауссу (1795) принадлежит первое применение метода, а Лежандр (1805) независимо открыл и опубликовал его под современным названием (фр.Méthode des moindre squarrés). Лаплас связал метод с теорией вероятностей, а американский математик Эдрейн (1808) рассмотрел его теоретико-вероятностные приложения. Метод распространён и усовершенствован дальнейшими изысканиями Энке, Бесселя, Ганзена и других.

1.1. Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

В развитии различных областей человеческой деятельности математика оказывает и оказывала существенное влияние. Современное развитие науки характеризуется потребностью изучения всевозможных сложных процессов и явлений – физических, химических, биологических, экономических, социальных и других. Происходит значительное увеличение темпов математизации и расширение ее области действия - особую роль при этом играет математическое моделирование.

Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе.

Математическая модель, основанная на упрощении, идеализации, не тождественна реальному явлению, объекту, а является его приближенным описанием. Однако благодаря замене реального объекта приближенной моделью становится возможным его математическое описание и применение математического аппарата для его анализа. Математика позволяет провести детальный анализ рассматриваемого явления, предсказать его поведение в различных условиях и в будущем.

При обработке экспериментальных данных часто приходится представлять их в виде некоторой приближенной зависимости типа . Задача формулируется следующим образом. Пусть в результате измерений получена таблица данных:

x	x1	x2	…	xi	…	xn
y	y1	y2	…	yi	…	yn

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых x_i (независимая величина) задается экспериментом, а y_i получается в результате опыта. Поэтому эти значения y_i будем называть эмпирическими или опытными значениями.

Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача – найти эмпирическую формулу

(1)

где – параметры, значения которых при x = x_i возможно мало отличались бы от экспериментальных (опытных) значений y_i ( .

Обычно указывают класс функций (например, множество ли­нейных, степенных, показательных и т.п.), из которого выбирается функция , и далее определяются наилучшие значения параметров.

Если в эмпирическую формулу (1) подставить исходные x_i, то получим теоретические значения , где

Разности называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек до графика эмпирической функции.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффи­циентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции

(2)

будет минимальной.

Поясним геометрический смысл метода наименьших квадратов.

Каждая пара чисел (x_i, y_i) из исходной таблицы определяет точку на плоскости XOY . Используя формулу (1) при различных значениях коэффициентов , можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (1). Задача состоит в определении коэффициентов таким образом, чтобы сумма квадра­тов расстояний по вертикали от точек до графика функции (1) была наименьшей (рис. 1).

Рис. 1. График функции

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т.д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Определение наилучших коэффициентов , входя­щих в эмпирическую формулу, производят хорошо известными анали­тическими методами.

Для того чтобы найти набор коэффициентов , ко­торые доставляют минимум функции S, определяемой формулой (2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов

Таким образом, нахождение коэффициентов     сводится к решению системы (3).

Эта система упрощается, если эмпирическая формула (1) ли­нейна относительно параметров , тогда система (3) будет линейной.

Конкретный вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В случае линейной зависимости система (3) примет вид:

Эта линейная система может быть решена любым известным методом (Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).

В случае квадратичной зависимости система (3) примет вид: