Интерпретация значений коэффициентов корреляции

Интервал значений коэффициента корреляции	Интерпретация
0 – 0,2	очень слабая корреляция
0,2 - 0,5	слабая корреляция
0,5 – 0,7	средняя корреляция
0,7 – 0,9	высокая корреляция
0,9 - 1	очень высокая корреляция

В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.

Корреляционное отношение вычисляется по формуле

, (15)

где , ,

а числитель характеризует рассеяние условных средних около безусловного среднего .

Всегда . Равенство соответствует некоррелированным случайным величинам: тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между и .

Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи и в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные, вводится еще одна характеристика – коэффициент детерминированности.

Для его описания рассмотрим следующие величины.

- полная сумма квадратов, где среднее значение .

Можно доказать следующее равенство:

.

Первое слагаемое называется остаточной суммой квадратов. Оно характеризует отклонение экспериментальных данных от теоретических.

Второе слагаемое, равное , называется регрессионной суммой квадратов, и характеризует разброс данных.

Очевидно, что справедливо следующее равенство

Коэффициент детерминированности определяется по формуле

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности , который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, то есть нет различия между фактическими и оценочными значениями . В противном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений .

Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае, когда выполняется равенство , можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные.

3. Пример выполнения курсовой работы

Функция задана таблицей 3.1.

Таблица 3.1

Аргументы и значения функции

Аргумент	Функция	Аргумент	Функция	Аргумент	Функция	Аргумент	Функция	Аргумент	Функция
2,25	4,03	3,12	5,53	4,22	5,66	5,22	7,01	6,18	8,02
2,44	4,45	3,14	5,76	4,34	6,7	5,34	7,54	6,38	8,66
2,66	4,67	3,36	5,43	4,46	6,43	5,56	7,23	6,58	8,67
2,86	4,99	3,58	5,81	4,68	6,88	5,88	7,45	6,81	8,45
3,03	5,34	4,14	5,58	5,15	6,88	6,25	7,89	7,21	9,56

Требуется выяснить, какая из функций - линейная, квадратичная или экспоненциальная наилучшим способом аппроксимирует функцию , заданную таблицей 3.1.

Решение

Поскольку в данном примере каждая пара значений (x_i, y_i) встречается один раз, то корреляционная таблица примет вид единичной матрицы. Значит условные средние совпадают со значениями y_i. Отсюда следует, что корреляционное отношение равно 1, следовательно, между y и x существует функциональная зависимость.

Для проведения расчетов данные целесообразно расположить в виде таблицы (представленной на рис. 1), используя средства табличного процессора OpenOffice.Org Calc.

1. Создаем новую рабочую книгу Calc с именем Фамилия_ курс раб. Переименуем Лист 1 на расчет МНК.

2. Ячейки А1:А25 заполняем значениями х_i, ячейки B1:В25 - значениями y_i.

3. Вводим формулу в ячейку С1: =A1^2. С помощью маркера автозаполнения (черный крестик возле нижнего угла выделенной ячейки) скопируем формулу в область С2:С25.

4. Вводим формулу в ячейку D1: =A1*B1. С помощью маркера автозаполнения скопируем формулу в область D2:D25.

5. Вводим формулу в ячейку Е1: =A1^3. С помощью маркера автозаполнения скопируем формулу в область E2:E25.

6. Вводим формулу в ячейку F1: =A1^4. С помощью маркера автозаполнения скопируем формулу в область F2:F25.

7. Вводим формулу в ячейку G1: =C1*B1. С помощью маркера автозаполнения скопируем формулу в область G2:G25.

8. Вводим формулу в ячейку H1: =LN(B1). С помощью маркера автозаполнения скопируем формулу в область H2:H25.

9. Вводим формулу в ячейку I1: =H1*A1. С помощью маркера автозаполнения скопируем формулу в область I2:I25.

Полученная таблица представлена на рис.1.

10. Последующие шаги - используя функцию SUM, посчитаем сумму в ячейках: А1:А25, B1:В25, С1:С25, D1:D25, E1:E25, F1:F25, G1:G25, H1:H25. Полученные результаты представлены на рис. 2.

11. Аппроксимируем функцию линейной функцией . Для определения коэффициентов и воспользуемся системой (4).

Используя итоговые суммы таблицы (см. рис. 2), расположенные в ячейках A27, B27, C27 и D27, запишем систему (4) в виде

(17)

Решение системы проводили, используя средства OpenOffice.Org Calc. Запишем матрицу А и столбец свободных членов В. Нам необходимо найти обратную матрицу А^-1, для этого выделяем диапазон ячеек В34:С35, затем ВставкаФункция Категория  МассивMINVERSE. В появившемся диалоговом окне заполняем поле ввода Матрица (рис. 3). Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица, то есть В30:С31, нажимаем кнопку ОК.

Рис. 1.Таблица расчетов

Рис. 2. В ячейках А27:I27 итоговые суммы

Рис. 3. Диалоговое окно Мастер функций

После преобразований получим следующие данные (рис.4)

Рис. 4. Результаты обратной матрицы

Рис. 5. Диалоговое окно Мастер функций

Осталось найти вектор неизвестных по формуле , для этого выделяем диапазон ячеек Е34:Е35, выполняем последовательность действий ВставкаФункцияКатегорияМас-сивMMULT. В диалоговом окне (рис. 5) в поле для первой матрицы указываем диапазон В34:С35. В поле для второй матрицы указываем диапазон Е30:Е31. Нажимаем кнопку ОК.

В результате должны получиться следующие данные (рис. 6).

Решив систему (17), получили коэффициенты линейной аппроксимации: и .

Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид .

Рис. 6. Коэффициенты линейной аппроксимации

12. Аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Для определения коэффициентов , , , воспользуемся системой (5).

Используя готовые итоговые суммы (рис. 2), расположенные в ячейках А27, В27, С27, D27, F27, G27 запишем систему в виде:

(18)

Решение системы проводили, используя средства OpenOffice.Org Calc. Запишем матрицу А и столбец свободных членов В. Нам необходимо найти обратную матрицу А^-1, для этого выделяем диапазон ячеек В42:D44, затем ВставкаФункция Категория  МассивMINVERSE. В появившемся диалоговом окне заполняем поле ввода Матрица (рис. 7). Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица, то есть В38:D40, нажимаем кнопку ОК.

Рис. 7. Диалоговое окно Мастер функций

После преобразований получим следующие данные (рис. 8)

Рис. 8.Результаты обратной матрицы