2.3. Нелинейные модели парной регрессии и корреляции

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

– полиномы различных степеней – , ;

– равносторонняя гипербола – ;

– полулогарифмическая функция – .

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

– степенная – ;

– показательная – ;

– экспоненциальная – .

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.

Например, парабола второй степени приводится к линейному виду с помощью замены: x=x₁, x²=x₂. В результате приходим к двухфакторному уравнению , оценка параметров которого при помощи МНК, к системе следующих нормальных уравнений:

А после обратной замены переменных получим

(2.19)

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа:

• нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием),

• нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).

К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная функция – ; показательная – ; экспоненциальная – , логистическая – , обратная – .

К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели: , .

Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование – он является коэффициентом эластичности. (Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%.) Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

. (2.20)

Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора x, то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

. (2.21)

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:

Таблица 2.4

Вид функции, y	Первая производная, y/	Средний коэффициент эластичности,
1	2	3
	b
	b+2c*x
	a*b*xb-1	b
	a*ln b*bx

Показатели, характеризующие нелинейную регрессию.

Индекс корреляции: , (2.22)

где – общая дисперсия результативного признака y, – остаточная дисперсия.

Величина данного показателя находится в пределах: . Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Индекс детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

, (2.23)

F-критерий Фишера: , (2.24)

где n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x. Фактическое значение F -критерия (2.24) сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы k₂=n-m-1 и k₁=m.

Рассмотрим пример 2.1, предположив, что связь между признаками носит нелинейный характер и найдем параметры следующего нелинейного уравнения: .

Для нахождения параметров регрессии делаем замену z=ln x и составляем вспомогательную таблицу ( ).

Таблица 2.5

	x	z	y	z*y	z2	y2				Ai
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1,2	0,182	0,9	0,164	0,033	0,81	0,499	0,401	0,1610	44,58
2	3,1	1,131	1,2	1,358	1,280	1,44	1,508	-0,308	0,0947	25,64
3	5,3	1,668	1,8	3,002	2,781	3,24	2,078	-0,278	0,0772	15,43
4	7,4	2,001	2,2	4,403	4,006	4,84	2,433	-0,233	0,0541	10,57
5	9,6	2,262	2,6	5,881	5,116	6,76	2,709	-0,109	0,0119	4,20
6	11,8	2,468	2,9	7,157	6,092	8,41	2,929	-0,029	0,0008	0,99
7	14,5	2,674	3,3	8,825	7,151	10,89	3,148	0,152	0,0232	4,62
8	18,7	2,929	3,8	11,128	8,576	14,44	3,418	0,382	0,1459	10,05
Итого	71,6	15,315	18,7	41,918	35,035	50,83	18,720	-0,020	0,5688	116,08
Среднее значение	8,95	1,914	2,34	5,240	4,379	6,35	–	–	0,0711	14,51
	–	0,846	0,935	–	–	–	–	–	–	–
	–	0,716	0,874	–	–	–	–	–	–	–

Найдем уравнение регрессии:

, =2,34-1,063*1,914=0,305.

Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: . Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей таблицы.

Индекс корреляции находим по формуле (2.22):

,

а индекс детерминации =0,918, который показывает, что 91,8% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 8,2% приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации: =14,51%, что недопустимо велико.

F -критерий Фишера:

,

значительно превышает табличное Fтабл=5,99.

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:

Рис. 2.6.