3. Множественная регрессия и корреляция

Множественная регрессия используется в том случае, когда нельзя элиминировать влияние множества факторов влияющих на результат. В этом случае в модель необходимо включать больше одной переменной. На самом деле на любое экономическое явление влияет целая группа различных факторов. Поэтому множественная регрессия позволяет получить более реальные цифры, чем парная регрессия. В этом случае используется такая модель: ,

где y – зависимая переменная (результативный признак), x_i – независимые, или объясняющие, переменные (признаки-факторы).

Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

3.1. Спецификация модели.

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.

1. Они должны быть количественно измеримы.

2. Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи. Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Они должны объяснить увеличение или уменьшение итогового показателя. Например, снижение успеваемости студента возможно если студент болел, прогуливал занятия, не читал литературу, не понимает материал и т.д. Кроме того, при дополнительном включении в регрессию фактора (m+1) коэффициент детерминации должен возрастать ( ), а остаточная дисперсия уменьшаться ( ).

Если же этого не происходит и данные показатели практически не отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фактор x_m+1 не улучшает модель и практически является лишним фактором.

Отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе матрицы показателей корреляции определяют параметры для уравнения регрессии.

Коэффициенты интеркорреляции (т.е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. дублируют друг друга, если . Если факторы явно коллинеарны, то они и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. Пусть, например, при изучении зависимости матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

Таблица 3.1

	y	x1	x2	x3
y	1	0,8	0,7	0,6
x1	0,8	1	0,8	0,5
x2	0,7	0,8	1	0,2
x3	0,6	0,5	0,2	1

Очевидно, что факторы x₁ и x₂ дублируют друг друга. В анализ целесообразно включить фактор x₂, а не x₁, хотя корреляция x₂ с результатом y слабее, чем корреляция фактора x₁ с y ( ), но зато значительно слабее межфакторная корреляция . Поэтому в данном случае в уравнение множественной регрессии включаются факторы x₂, x₃.

Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга. Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Отбор факторов, включаемых в регрессию, является одним из важнейших этапов практического использования методов регрессии. При отборе факторов рекомендуется пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов обычно в 6–7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия. Если это соотношение нарушено, то это приводит к тому, что параметры уравнения регрессии оказываются статистически незначимыми, а F-критерий меньше табличного значения.