Оценка параметров и структуры математической модели.
Задачи поиска оптимума возникают при построении математических моделей. Когда для изучения какого-либо явления конструируется математическая модель, к оптимизации прибегают для того, чтобы определить ее структуру и параметры, которые обеспечивают наилучшее согласие с реальностью.
Пусть результат
измерения случайной величины у зависит
от
,
причем
где у - результат измерения,
-
функция, вид которой известен,
-
неизвестные параметры функции. Оценка
неизвестных параметров
при
определенных условиях может быть
произведена, например, по методу
наименьших квадратов посредством
минимизации суммы квадратов
по . Здесь N- количество наблюдений.
Для определения
структуры модели, т.е. определение ее
вида, создается множество альтернативных
моделей, среди которых выбирается одна
из моделей по некоторому критерию. В
качестве критерия может выступать либо
сумма квадратов
,
либо оценка дисперсии модели, либо
коэффициент детерминации и т.п.
2. Задача Штейнера.
Классическая
задача Штейнера
формулируется так: требуется найти
точку
,
сумма расстояний от которой до заданных
точек
минимальна.
Эта задача типично оптимизационная:
Приведенные задачи представляют собой задачи безусловной оптимизации — на искомое решение не налагается никаких дополнительных условий, кроме того, что оно должно доставлять минимум некоторой функции (другими словами, минимум функции ищется на всем пространстве — области определения функции).
3. Задача о рационе.
Формулировка
задачи о рационе:
Пусть имеется n различных пищевых
продуктов, содержащих m различных
питательных веществ. Обозначим через
долю
j-го питательного вещества в i-ом продукте,
через
—
суточную потребность организма в j-ом
питательном веществе, через
—
стоимость единицы i-го продукта. Требуется
составить суточный рацион питания
минимальной стоимости, удовлетворяющий
потребность во всех питательных
веществах. Если обозначить через
суточное
потребление i-го продукта, то эта задача
может быть формализована следующим
образом. Нужно минимизировать функцию
(стоимость
рациона)
при условиях
(рацион
должен содержать не менее суточной
потребности в каждом из питательных
веществ).
Очевидно, также
следует требовать, чтобы
В
векторных обозначениях задача о рационе
может быть записана так: минимизировать
функцию
f(x)=(c,x), где
.
Эту задачу, как
обычно, мы записываем в виде при
ограничениях
,
.В них первое неравенство связывает два
вектора Ax и b из
,
а второе – два вектора x и
из
.
4. Транспортная задача.
Транспортная
задача — классическая
задача линейного программирования. К
ней сводятся многие оптимизационные
задачи. Формулируется она так. На m
складах находится груз, который нужно
развезти n потребителям. Пусть
(i
= 1, ..., n) — количество груза на i-ом складе,
а
(j
= 1, ..., m) — потребность в грузе j-го
потребителя,
—
стоимость перевозки единицы груза с
i-го склада j-му потребителю. Требуется
минимизировать стоимость перевозок.
Если обозначить через
объем
перевозок с i-го склада j-му потребителю,
то транспортная задача формализуется
так:
(все
потребители должны быть удовлетворены),
(весь
груз должен быть доставлен потребителю),
(нельзя
перевозить груз от потребителя на
склад).
Это были примеры линейных задач условной оптимизации. Приведем один пример нелинейной задачи.