Метод Фибоначчи.

Постановка задачи.

Тебуется найти безусловный минимум функции f(x) одной переменной, т.е. такую точку , что .

В методе Фибоначчи реализована стратегия, обеспечивающая максимальное гарантированное сокращение интервала неопределенности при заданном количестве вычислений функции. Эта стратегия опирается на числа Фибоначчи.

Определение. Числа Фибоначчи определяются следующим образом: .

Последовательность чисел Фибоначчи имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… .

Стратегия поиска.

Метод относится к последовательным стратегиям. Задается начальный интервал неопределенности и количество N вычислений функции. Алгоритм основан на анализе величин функции в двух точках. Точки вычисления функции находятся с использованием последовательности из N+1 чисел Фибоначчи. Как и в методе золотого сечения, на первой итерации требуется два вычисления функции, а на каждой последующей итерации, требуется только одно новое вычисление функции. Поиск заканчивается, когда длина текущего интервала неопределенности оказывается меньше установленной величины.

Алгоритм.

Шаг 1. Задать начальный интервал неопределенности , ], допустимую длину конечного интервала l > 0 и константу различимости .

Шаг 2. Найти количество N вячислений функции как наименьшее целое число, при котором удовлетворяется условие , и числа Фибоначчи .

Шаг 3. Положить k=0.

Шаг 4. Вычислить значения :

.

Шаг 5. Вычислить , .

Шаг 6. Сравнить с

а) если , положить

Перейти к шагу 7;

б) если > , положить

.

Шаг 7. Проверить условие окончания и в случае необходимости сделать заключительное N-е вычисление функции для получения решения:

а) если , положить k=k+1 и перейти к шагу 5;

б) если k=N-3, то всегда , т.е. отсутствует точка нового вычисления функции. В этом случае полагают: . В точках вычисляют значения функции и находят границы конечного интервала неопределенности:

• Если , положить

• Если , положить

Поиск завершен и . В качестве приближения можно взять середину этого интервала .

Сходимость.

Для метода Фибоначчи характеристика относительного уменьшения начального интервала неопределенности находится по формуле , где N - количество вычислений функции.

Пример.

Задание.

Определить методом Фибоначчи минимум функции , заданной на отрезке , при .

Решение.

Метод Пауэлла.

Основная идея методов полиномиальной аппроксимации связана с возможностью аппроксимации гладкой функции полиномом и последующего использования аппроксимирующего полинома для оценивания координаты точки оптимума. Необходимыми условиями эффективной реализации такого подхода являются унимодальность и непрерывность исследуемой функции.

Согласно теореме Вейерштрасса об аппроксимации, непрерывную функцию в некотором интервале можно аппроксимировать полиномом достаточно высокого порядка. Следовательно, если функция унимодальна и найден полином, который достаточно точно ее аппроксимирует, то координаты точки оптимума функции можно оценить путем вычисления координаты точки оптимума полинома.

Простейшим вариантом полиномиальной аппроксимации является квадратичная аппроксимация, которая основана на том факте, что функция, принимающая минимальное значение во внутренней точке интервала, должна быть, по крайней мере, квадратичной. Если же функция линейная, то ее оптимальное значение может достигаться только в одной из двух граничных точек интервала. Таким образом, при реализации метода оценивания с использованием квадратичной аппроксимации предполагается, что в ограниченном интервале можно аппроксимировать функцию квадратичным полиномом, а затем использовать построенный полином для оценивания координаты точки истинного минимума функции.

Пусть известны значения функции f(x) в трех разных точках , равные соответственно , тогда функция f(x) может быть аппроксимирована квадратичной функцией : , где коэффициенты определяются из условия, что значения функции в этих точках равны значениям полинома q(x) в этих же точках.

Имеем

Отсюда получаем

Аналогично получаем :

Квадратичная функция q(x) достигает минимума в точке .

Поскольку функция f(x) на рассматриваемом интервале обладает свойством унимодальности, а аппроксимирующий квадратичный полином также является унимодальной функцией, то можно ожидать, что величина окажется приемлемой оценкой координаты точки истинного оптимума функции f(x).

Стратегия поиска.

Метод Пауэлла относится к последовательным стратегиям. Задается начальная точка и с помощью пробного шага находится три точки так, чтобы они были как можно ближе к искомой точке минимума. В полученных точках вычисляются значения функции. Затем строится интерполяционный полином второй степени, проходящий через эти точки. В качестве приближения точки минимума берется точка минимума полинома. Поиск заканчивается, когда полученная точка отличается от лучшей из трех опорных точек не более чем на заданную величину.

Алгоритм.

Шаг 1. Задать начальную точку , величину шага - малые положительные числа, характеризующие точность.

Шаг 2.

Шаг 3. Вычислить и .

Шаг 4. Сравнить и :

• Если > , то .

• Если < , то .

Шаг 5. Вычислить и найти : Шаг 6. По вычислить , используя формулу для оценивания с помощью квадратичной аппроксимации: и значение функции .

Если знаменатель в формуле для на некоторой итерации обращается в нуль, то в этом случае результатом интерполяции является прямая, тогда следует положить и перейти к шагу 2.

Шаг 7. Проверка окончания:

a) если оба условия выполнены, процедура закончена и ;

б) если хотя одно из условий не выполнено и , выбрать наилучшую точку ( или ) и две точки по обе стороны от нее. Обозначить эти точки в естественном порядке и перейти к шагу 5.

в) если хотя одно из условий не выполнено и , то положить и перейти к шагу 2.

Пример.

Задание.

Определить методом Пауэлла минимум функции в интервале .

Решение.