3.4. Признаки Даламбера и Коши абсолютной сходимости знакопеременных рядов

Сочетание достаточного признака абсолютной сходимости и предельных признаков Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов позволяет получить еще два широко используемых на практике приема исследования на сходимость знакопеременных рядов, позволяющих в ряде случаев также доказать их расходимость.

Первый из них (признак Даламбера абсолютной сходимости) формулируется следующим образом: если существует предел отношения модуля последующего члена ряда (3.2) к модулю предыдущего, то есть

,

то при ряд (3.2) сходится абсолютно, а при  расходится.

Второй признак (признак Коши абсолютной сходимости) гласит: если для ряда (3.2) существует предел

,

то при этот ряд сходится абсолютно, а при данный ряд расходится.

Пример 3.4. Исследовать на сходимость числовой ряд

.

Р е ш е н и е. Для исследования на сходимость заданного знакочередующегося ряда применим признак Даламбера абсолютной сходимости, поскольку наличие факториалов в выражении общего члена ряда служит предпосылкой для использования этого метода. Так как

, ,

то согласно признаку Даламбера получим:

.

Поскольку предел отношения модуля последующего члена ряда к модулю предыдущего меньше единицы, то исходный ряд сходится абсолютно.

Задание 3.5. Исследовать на сходимость следующие ряды:

а) ; б) .

Ответы: а) ряд сходится абсолютно; б) ряд расходится.

3.5. Приближенное вычисление сумм рядов с положительными членами

Как было отмечено раньше, аналитически вычислить значение суммы числового ряда удается только лишь в исключительных случаях. В остальных же случаях сумму ряда приходиться находить приближенно, убедившись предварительно в сходимости этого ряда.

Итак, требуется найти сумму сходящегося числового ряда

. (3.4)

Точное значение суммы этого ряда на практике приближенно заменяется конечной суммой

первых членов данного ряда, то есть n-й частичной суммой рассматриваемого ряда (3.4). При этом абсолютная ошибка такой приближенной замены определяется величиной модуля n-го остатка ряда , то есть

,

где

В зависимости от вида числового ряда используются те или оценки его остатка. Пусть ряд (3.4) является сходящимся знакоположительным рядом.

Мажорирующим рядом по отношению к ряду (3.4) называется сходящийся знакоположительный ряд

, (3.5)

все члены которого не меньше соответствующих членов ряда (3.4), а именно .

Остаток мажорирующего ряда (3.5) обозначим как , то есть

Тогда величину остатка сходящегося знакоположительного ряда (3.4) можно оценить на основании следующего утверждения: остаток знакоположительного ряда (3.4) не превосходит остатка мажорирующего ряда (3.5), то есть .

В качестве мажорирующего ряда выбирается сходящийся знакоположительный ряд, сумму которого можно подсчитать аналитически, например, ряд геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом :

. (3.6)

Для сходящихся знакоположительных рядов, члены которых монотонно убывают, начиная с (n + 1)-го члена, справедливы также следующие оценки остатка:

, (3.7)

, (3.8)

где  функция, монотонно убывающая на промежутке интегрирования и принимающая в точках значения .

Пример 3.5. С точностью 0,01 вычислить сумму ряда

Р е ш е н и е. Прежде всего убедимся в сходимости данного ряда, применив предельный признак Даламбера:

.

Затем для решения поставленной задачи необходимо определить число первых членов ряда, сумма которых будет равна искомой сумме ряда с заданной точностью, то есть когда остаток ряда не будет превосходить заданную точность вычислений .

В качестве мажорирующего ряда выберем сходящийся ряд геометрической прогрессии со знаменателем :

,

при этом нетрудно убедиться в том, что n-й член этого ряда не меньше n-го члена исходного ряда . Действительно, приведя выражения обоих этих членов к общему знаменателю, получим:

,

так как при любом натуральном .

Так как остаток исходного ряда не превосходит остатка мажорирующего ряда, то, применив формулу (3.6), подсчитаем его значения при некоторых и сопоставим с заданной точностью:

;

;

.

Таким образом, для вычисления суммы исходного ряда с заданной точностью требуется просуммировать пять первых членов этого ряда:

.

Задание 3.6. Оценить погрешность, получаемую при замене суммы ряда

суммой пятью его первыми членами.

Ответ: 0,00008.

Пример 3.6. Получить формулу для оценки n-го остатка ряда

.

Р е ш е н и е. Применив предельный признак Даламбера, сначала убедимся в сходимости данного ряда:

.

Затем, воспользовавшись оценкой (3.7), получим:

,

то есть .

Задание 3.7. С точностью 0,1 вычислить сумму ряда Дирихле

.

Ответ: .