3.6. Вычисление сумм знакочередующихся рядов
Наиболее просто оценивается остаток знакочередующегося ряда, если он сходится по признаку Лейбница. Поскольку остаток сходящегося знакочередующегося ряда
также является
сходящимся знакочередующимся рядом,
то согласно признаку Лейбница (см.
подразд. 3.1) абсолютная величина остатка
знакочередующегося ряда не превосходит
модуля первого отброшенного члена,
то есть
.
Пример 3.7. С точностью 0,01 найти сумму ряда
Данный ряд является знакочередующимся и сходится по признаку Лейбница (см. решение примера 3.2). Чтобы определить число первых членов ряда для вычисления его суммы с заданной точностью, оценим абсолютные величины остатков ряда при некоторых значениях :
;
.
Таким образом, для вычисления суммы исходного ряда с заданной точностью требуется просуммировать первые четыре его члена:
.
Задание 3.8. Вычислить сумму ряда
с точностью 0,001.
Ответ: 0,632.
3.7. Вычисление сумм знакопеременных рядов
Оценка остатка произвольного числового ряда может быть произведена на основании следующей теоремы: абсолютная величина n-го остатка абсолютно сходящегося ряда
не превосходит n-го остатка ряда
,
составленного из абсолютных величин членов исходного ряда, то есть
.
Пример 3.8. Оценить погрешность, получаемую при замене суммы ряда
суммой десяти его первых членов.
Р е ш е
н и е. Нетрудно проверить, что заданный
ряд сходится абсолютно по признаку
Даламбера абсолютной сходимости.
Пусть
остаток этого
ряда, величину которого требуется
оценить. Для этого построим ряд,
составленный из абсолютных величин
исходного ряда:
, (3.9)
остаток
которого обозначим как
.
Тогда
.
В свою очередь, чтобы оценить остаток знакоположительного ряда (3.9), необходимо подобрать ряд, его мажорирующий. Так как
,
,
,
,
то в качестве мажорирующего ряда по отношению к знакоположительному ряду (3.9) выберем ряд геометрической прогрессии:
,
остаток которого, в
свою очередь, может быть вычислен
как сумма членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии со
знаменателем
и первым членом
:
.
Таким
образом,
,
то есть искомая погрешность замены
суммы заданного ряда суммой первых
его десяти членов оценивается как
.
Задание 3.9. Сколько первых членов ряда
следует оставить для приближенного вычисления его суммы с гарантированной точностью 0,001.
Ответ:
.
Упражнения к разделу 3
1. Исследовать на сходимость следующие знакочередующиеся ряды:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Ответы: 1) ряд сходится условно; 2) ряд сходится условно; 3) ряд сходится абсолютно; 4) ряд расходится; 5) ряд расходится.
2. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Ответы: 1) ряд сходится абсолютно; 2) ряд сходится абсолютно; 3) ряд сходится абсолютно; 4) ряд расходится; 5) ряд сходится абсолютно; 6) ряд сходится условно.
3. Определить необходимое число первых членов нижеследующих рядов для вычисления их сумм с точностью до 0,01:
1)
;
2)
.
Ответы: 1) 99; 2) 4.