6.2. Приближенное вычисление интегралов

С помощью степенных рядов удается приближенно вычислить ряд интегралов, не выражающиеся через элементарные функции, либо вычисление которых другими способами представляет значительные трудности.

Метод основан на том, что если функцию удается разложить в равномерно сходящийся на отрезке ряд, то этот ряд можно проинтегрировать по любому отрезку , в результате чего определенный интеграл представляется в виде сходящегося ряда. Неопределенные интегралы также можно найти с помощью разложения подынтегральной функции в равномерно сходящийся степенной ряд с последующим интегрированием по отрезку .

Пример 6.3. С точностью до 0,01 вычислить интеграл

.

Р е ш е н и е. Воспользовавшись разложением (5.22), справедливым при , представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда и проинтегрируем его по отрезку :

.

Для вычисления данного интеграла с заданной точностью достаточно было ограничиться первыми шестью членами полученного знакочередующегося ряда, так как модуль следующего члена не превосходит величины заданной точности вычислений:

.

Таким образом, с точностью 0,01.

Задание 6.2. С точностью 0,001 вычислить следующие интегралы:

а) ; б) ; в) .

Ответы: а) 3,057; б) 0,005; в) 0,006.

6.3. Вычисление пределов функций

Применение степенных рядов дает эффективный способ раскрытия неопределенностей вида , порождаемых разностью в случае вычисления предела при . Этот метод заключается в следующем: числитель и знаменатель дроби раскладываются в степенные ряды по степеням разности , а затем производятся необходимые сокращения, в результате чего неопределенность обычно исчезает.

Пример 6.4. Вычислить предел .

Р е ш е н и е. Для раскрытия неопределенности вида , порождаемой разностью , представим функции, стоящие под знаком предела в числителе и знаменателе дроби, в виде рядов Тейлора по степеням разности , используя для этого табличные разложения (5.17), (5.18) и (5.21):

.

Задание 6.3. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислить следующие пределы:

а) ; б) ;

в) .

Ответы: а) ; б) ; в) .

6.4. Применение рядов для вычисления производных

С помощью рядов Тейлора можно находить численные значения производных любого порядка от заданной функции . Например, чтобы вычислить производную в точке , необходимо разложить функцию в ряд Тейлора по степеням разности , а затем по формуле

, (6.13)

которая получается из общего выражения (5.9) для коэффициентов ряда, находится производная нужного порядка.

Пример 6.5. Вычислить производную функции девятого порядка в точке .

Р е ш е н и е. Представим функцию в виде ряда Маклорена, используя биномиальное разложение (5.23):

Так как согласно полученному разложению коэффициент ряда Тейлора при равен , то на основании формулы (6.13) получим искомое значение производной заданной функции девятого порядка в точке :

.

Задание 6.4. Используя разложение функции в ряд Тейлора, найти значение производной этой функции тринадцатого порядка в точке .

Ответ: .