6.6. Решение линейных дифференциальных уравнений

Для нахождения решения линейного дифференциального уравнения целесообразно применить метод неопределенных коэффициентов, идея которого заключается в следующем. Если в окрестности начальной точки выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши, то искомое решение в виде степенного ряда

(6.20)

непосредственно подставляется в дифференциальное уравнение, при этом коэффициенты этого линейного дифференциального уравнения и его правая часть, если они являются функциями независимой переменной , также представляются в виде рядов по степеням разности . Приравнивая далее коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ряда (6.20). При этом первые коэффициенты ряда (6.20) получаются в результате использования начальных условий задачи Коши, а остальные  из решения составленной системы алгебраических уравнений.

Пример 6.7. При начальных условиях найти решение дифференциального уравнения

(6.21)

в виде степенного ряда, ограничиваясь шестью его первыми членами.

Р е ш е н и е. Так как частное решение дифференциального уравнения отыскивается в окрестности точки , то это решение будем искать в виде ряда по степеням :

(6.22)

Используя начальные условия, сначала найдем коэффициенты ряда (6.22) и :

Затем дважды продифференцируем (6.22):

(6.23)

и подставим искомое решение в виде ряда (6.22) и выражение его второй производной (6.23) в исходное дифференциальное уравнение (6.21), представив при этом правую часть этого уравнения в виде разложения (5.17):

Приравнивая далее коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов разложения (6.22):