5. Неопределенные выражения

Пусть . Тогда о пределе нельзя сказать ничего определенного. Рассмотрим примеры:

если , то

если , то не существует.

Говорят, что выражение при представляет собой неопределенность вида . Существуют и другие виды неопределенностей: Раскрыть соответствующую неопределенность означает найти предел (если он существует) соответствующего выражения.

Необходимое условие сходимости: для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.

Достаточные условия сходимости:

а) если и неравенство выполняется для любого , то существует предел последовательности , равный , т.е. .

б) теорема Вейерштрасса. Всякая ограниченная сверху (снизу) монотонно возрастающая (монотонно убывающая) последовательность имеет предел.

Важным примером возрастающей монотонной последовательности является Согласно теореме Вейерштрасса, эта последовательность имеет предел, который обозначается буквой е: . Число е иррационально и равно , оно имеет важное значение в приложениях. Полученный предел можно рассматривать как пример раскрытия неопределенности вида , который показывает, что произведение бесконечного числа множителей, каждый из которых стремится к единице, не всегда равно единице, в отличие от произведения конечного числа таких множителей.

Пример.

Пользуясь определением, доказать, что последовательность не имеет предела.

Решение.

Последовательные значения членов последовательности: 1, -1, 1, … . Предположим, что последовательность имеет предел равный числу а. Рассмотрим окрестность этой точки при . Очевидно, что эта окрестность не может содержать в себе одновременно и точку 1 и точку –1, потому что расстояние между этими точками равно 2 . Для определенности будем считать, что точка 1 не принадлежит рассматриваемой окрестности. Но для , т.е. вне окрестности имеется бесконечное число элементов последовательности . Так как а – произвольная точка, то по определению данная последовательность не имеет предела.