8. Бесконечно малые функции
Функция
называется бесконечно
малой в точке
,
если
(или
).
Функция
называется бесконечно
большой в точке
,
если
(или
).
Свойства бесконечно малых функций
Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых функций в точке , как и произведение бесконечно малой на ограниченную функцию, являются бесконечно малыми функциями в точке .
Если
– бесконечно малая функция в точке
,
то
– бесконечно большая функция в этой
точке, и наоборот.
При
вычислении пределов алгебраических
выражений, представляющих собой
неопределенность вида
,
полезно использовать понятие эквивалентных
бесконечно малых функций. Бесконечно
малые функции
и
называются эквивалентными
в
точке
,
если
.
При нахождении предела отношения двух
бесконечно малых функций каждую из них
(или только одну) можно заменять на
эквивалентную, т.е.
,
если
в точке
.
Примеры
эквивалентных функций в точке
:
9. Замечательные пределы
Первый замечательный предел:
.
Следствие из первого замечательного предела:
,
Второй замечательный предел:
или
.
Следствия из второго замечательного предела:
,
в
частности,
;
,
в
частности,
;
.
Пример.
Вычислить пределы:
а)
;
б)
.
Решение.
а) Преобразуя эту дробь и применяя первый замечательный предел, находим
.
б) Преобразуя выражение в скобках и применяя второй замечательный предел, находим
Замечание.
Здесь использовалось свойство непрерывных
функций, которое будет рассматриваться
ниже: так как функция
является непрерывной на всей числовой
прямой, то символы предела и функции
перестановочны, т.е.
.
Пример.
Вычислить
предел:
.
Решение.
При
функция
,
а функция
.
Заменив функции на эквивалентные,
получим
.
Задачи.
Вычислить пределы:
6.41.
; 6.42.
;
6.43.
; 6.44.
;
6.45.
; 6.46.
;
6.47.
; 6.48.
;
6.49.
; 6.50.
;
6.51.
; 6.52.
;
6.53.
; 6.54.
;
6.55.
; 6.56.
;
6.57.
; 6.58.
.
Вычислить, используя первый замечательный предел:
6.59.
; 6.60.
;
6.61.
; 6.62.
;
6.63.
; 6.64.
;
6.65.
; 6.66.
;
6.67.
; 6.68.
;
6.69.
; 6.70.
.
Вычислить, используя второй замечательный предел:
6.71.
; 6.72.
;
6.73.
; 6.74.
;
6.75.
; 6.76.
;
6.77.
; 6.78.
;
6.79.
; 6.80.
;
6.81.
; 6.82.
;
6.83.
; 6.84.
.
Вычислить, используя свойство эквивалентных функций:
6.85.
; 6.86.
;
6.87.
; 6.88.
;
6.89.
; 6.90.
;
6.91.
; 6.92.
;
6.93.
; 6.94.
.
10. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва
Функция с областью определения D называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия:
функция определена в точке , т.е.
;существует
;
.
На -языке это определение можно записать следующим образом:
.
Необходимое
и достаточное условие
непрерывности функции
в точке
:
.
Итак, функция непрерывна в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3), то точка называется точкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:
а) существует, но функция не определена в точке или нарушено условие . В этом случае называется точкой устранимого разрыва;
б)
если существуют односторонние пределы
и
,
но
,
то
называется точкой
разрыва 1-го рода;
в) в остальных случаях называется точкой разрыва 2-го рода.
Свойства функций, непрерывных в точке
Если
функции
и
непрерывны в точке
,
то также непрерывны в этой точке их
сумма
,
разность
,
произведение
,
а также частное
при условии, что
.
Все многочлены являются непрерывными функциями во всех точках числовой прямой.
Всякая
элементарная функция непрерывна во
всех точках, в которых она определена
(элементарной
функцией
называется функция, которая может быть
выражена через функции С
(С
– константа),
с помощью арифметических действий и
образования сложной функции).
Замечание.
Поскольку
,
то
,
т.е. для непрерывной функции символы
предела и функции перестановочны.
Пример.
Доказать,
что функция
является непрерывной.
Решение.
Проверим необходимое и достаточное условие непрерывности:
Оно
выполняется, значит, функция
является непрерывной.
П
ример.
Найти точки разрыва функции
и
исследовать их характер.
Решение.
Функция
имеет разрыв в точке
,
т.к. в этой точке она не определена
(рис.14). Найдем односторонние пределы:
.
Эти пределы не равны. Следовательно, точка – точка разрыва первого рода. На рисунке видно, что функция делает скачок. Этот скачок равен 2.
Пример.
Найти
точки разрыва функции
и исследовать их характер.
Решение.
Функция имеет разрыв в точке , т.к. в этой точке она не определена. Найдем односторонние пределы, используя первый замечательный предел:
.
Эти
пределы равны, следовательно, точка
– точка устранимого разрыва. Данную
функцию можно доопределить до непрерывной,
если наложить на нее дополнительное
условие:
.
Пример.
Найти
точки разрыва функции
и исследовать их характер.
Решение.
Точка является точкой разрыва второго рода, так как
.
Заметим,
что второй односторонний предел конечен
.
Задачи.
Доказать, что следующие функции непрерывны в каждой точке своей области определения:
6.95.
; 6.96.
;
6.97.
; 6.98.
;
6.99.
; 6.100.
;
6.101.
; 6.102.
.
Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной:
6.103.
; 6.104.
;
6.105.
; 6.106.
;
6.107.
; 6.108.
;
6.109.
; 6.110.
;
6.111.
; 6.112.
.
Исследовать на непрерывность функции:
6.113.
6.114.
Исследовать на непрерывность и построить график функции :
6.115.
6.116.
6.117.
6.118.
