6.6. Свойства определённого интеграла.

1. Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема на любом отрезке, лежащем в отрезке .

2. (аддитивность интеграла по множеству)

Если функция интегрируема на отрезках и то она интегрируема и на отрезке . При этом выполняется равенство

.

3) Если функция интегрируема на отрезке и произвольная константа, то функция также интегрируема на отрезке . При этом выполняется равенство

.

Это свойство обычно формулируют так: постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла.

4. (аддитивность интеграла по функции) Если функции и интегрируемы на отрезке , то их сумма также интегрируема на отрезке и при этом выполняется равенство

.

5) Интеграл от функции по отрезку равен длине отрезка

.

6) При изменении порядка пределов интегрирования меняется знак определенного интеграла

.

7. Если функция интегрируема на отрезке , то её модуль также интегрируем на отрезке и модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля

.

8) Если функция интегрируема на отрезке и неотрицательна, то ее интеграл также неотрицателен

.

9) Если функции и интегрируемы на отрезке и функция не превосходит функцию , то можно переходить к интегралу в неравенстве

.

10)(оценка интеграла)

.

11) Теорема о среднем.

Пусть . Тогда , такое что .

В случае если непрерывна на отрезке , найдется точка

, такая что .

12) Обобщённая теорема о среднем.

Пусть ; кроме того .

Тогда существует число такое что

.

В случае если непрерывна на отрезке , найдется точка

такая что

.

Пример. При расчёте нагрузки, на определённый узел конструкции получили следующий интеграл (в тоннах). Не вычисляя интеграл, оценить нагрузку на узел.

Так как , то при справедлива оценка для подынтегральной функции Тогда, по свойствам 7) и 10), интеграл оценивается . Отсюда видно, что нагрузка на узел не превосходит тонн или 0,06 грамм, значит эта нагрузка незначительна и ее можно не учитывать.

§7. Вычисление определенного интеграла

7.1. Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть задана функция, интегрируемая на отрезке . Тогда по свойству 1 определенного интеграла для любой точки функция также будет интегрируема на отрезке . Поэтому определена функция , она называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда функция будет непрерывной на отрезке .

Д оказательство. Докажем, что непрерывна в любой точке . Для этого покажем, что приращение функции стремится к нулю, если приращение аргумента стремится к нулю.

.

Если , то

Если же , то

.

Таким образом, при любом приращении переменной приращение функции выражается формулой

. По теореме о среднем при ,

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда функция будет дифференцируема на интервале , причём выполняется равенство .

То есть интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции, в случае, если она непрерывна.

Доказательство. Зафиксируем точку . Покажем, что в этой точке существует конечная производная.

.

Также как в предыдущей теореме выводится формула для приращения функции .

Отсюда по теореме о среднем в случае непрерывной функции получаем

, где точка является промежуточной между и .

Подставляя выражение для приращения функции в ее производную, получаем .

Так как при точка , а функция непрерывна в точке ,

то и тогда справедлива формула , что и требовалось доказать.

Теорема 3. Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть функция непрерывна на отрезке .

Функция любая из первообразных функции .

Тогда .

Доказательство. Из теоремы 2 следует, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной функции . Поскольку также является первообразной и две различные первообразные отличаются только на константу, то . (1)

Найдем костанту С. Положим в последнем равенстве :

. Отсюда находим значение константы . Подставив его в равенство (1), получаем

.

Полагая в этом равенстве , получаем искомую формулу .

7.2. Правило интегрирования по частям в определённом интеграле.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда справедлива формула интегрирования по частям

.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Обозначим через

Подставляя эти выражения в формулу интегрирования по частям, получаем

.

Пример 2. Вывести рекуррентную формулу для вычисления интеграла

.

Обозначим через

Подставляя эти выражения в формулу интегрирования по частям, получаем

.

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством , сводим вычисление данного интеграла к таким же интегралам меньшего порядка

Отсюда находим рекуррентную формулу для вычисления искомого

интеграла .

Начальные значения интегралов для этой формулы

Пример 3. Вычислить интегралы

Применим рекуррентную формулу, выведенную в примере 2, при :

.

Учитывая, что , получаем .

Применим рекуррентную формулу, выведенную в примере 2, при :

.

Учитывая, что , получаем .

7.3. Замена переменной в определённом интеграле.

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке .

Функция определена и непрерывна вместе со своей производной на отрезке , причем , , . Тогда справедлива формула замены переменной

, где .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Первый способ. Перепишем подынтегральную функцию в виде

.

Этот интеграл является интегралом от дифференциального бинома

. В данном примере .

Число не является целым; число также не является целым;

число целое. Значит, исходя из общей теории, подходит подстановка .

Возводим в квадрат и выражаем подынтегральные выражения

Пересчитаем пределы интегрирования из формулы :

при ; при .

Подставляя эти выражения в первоначальный интеграл, получаем

Второй способ. В этом интеграле можно избавиться от иррациональности с помощью тригонометрической подстановки. Сделаем замену

Пересчитаем пределы интегрирования. Если , то ;

если , то . Подставляя эти значения в интеграл, получаем

.

Сделаем еще одну замену переменной .

Если , то ; если , то . Тогда

Отметим два основных отличия замены переменной в определённом интеграле от замены переменной в неопределённом интеграле:

1. надо пересчитывать пределы интегрирования;

2. не нужно возвращаться к старой переменной.

Следующий пример показывает, что формальное применение формулы замены переменной, без учета условий ее применимости, может привести к неверному результату.

Пример 2. Интеграл . Сделаем в этом интеграле замену . Тогда . Получили противоречие, так как один и тот же интеграл не может принимать два разных значения.

Это произошло потому, что при изменении переменной

новая переменная изменяется на лучах . А согласно теореме о замене переменной она должна изменяться на отрезке .

При замене переменной определенный интеграл Римана может перейти в несобственный интеграл и наоборот. Поэтому введем понятие несобственного интеграла. Позднее этот интеграл будет изучаться более подробно.

7.4. Несобственный интеграл

Интеграл Римана рассматривается от ограниченной функции на отрезке. Этот интеграл можно обобщить в двух направлениях: сделать неограниченным промежуток или функцию неограниченной.

Несобственный интеграл первого рода – это интеграл по неограниченому промежутку. Пусть функция интегрируема по Риману в собственном смысле на любом отрезке при всяком значении . Несобственным интегралом от функции по лучу называется следующий предел от определенного интеграла

.

Возможны следующие случаи. Если предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если же предел равен бесконечности или вообще не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Пример 1. Исследовать на сходимость в зависимости от параметра несобственный интеграл .

Рассмотрим сначала случай, когда .Тогда

.

В этом случае интеграл расходится.

Пусть теперь . Тогда

Итак, сходится при и расходится при .

Это важный интеграл, он широко используется при исследовании на сходимость других несобственных интегралов, а также в теории рядов.

Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Запишем несобственный интеграл по определению

.

Полученный предел не существует, следовательно, интеграл расходится.

Несобственный интеграл второго рода

Пусть задан отрезок и функция , такая что для всякого достаточно малого функция интегрируема по Риману на отрезке ;

кроме того . Тогда несобственный интеграл второго рода определяется по формуле

.

Если предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же предел бесконечный либо вообще не существует, то говорят, что интеграл расходится.

К несобственным интегралам применимы методы замены переменной и интегрирования по частям.

Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл .

Если , то подынтегральная функция ограниченна, интеграл является собственным и принимает конечное значение.

При подынтегральная функция имеет особенность в точке , она обращается в бесконечность в этой точке . Значит, это несобственный интеграл второго рода.

Сделаем в нем замену переменной .

Пересчитаем пределы интегрирования. При ; при .

Подставляя эти выражения в первоначальный интеграл, получаем

. Этот несобственный интеграл первого рода исследован на сходимость в примере 1. Он сходится при ;

расходится при .

Итак, интеграл сходится при и расходится при .

Этот интеграл также имеет большое значение для исследования на сходимость других несобственных интегралов.