8.3. Вычисление объёмов

Телом назовём часть пространства, ограниченную замкнутой несамопересекающейся поверхностью. Понятие объема пространственного тела вводится аналогично понятию площади плоской фигуры.

Пусть – некоторое тело в пространстве. Его нижний объем определяется по формуле , где – множество всех многогранников, лежащих внутри . Верхний объем равен , где – множество всех многогранников, содержащих в себе .

Определение. Тело кубируемо, если , тогда объем тела равен .

Критерий кубируемости. Тело F кубируемо тогда и только тогда, когда для любого найдутся многогранники и такие что и .

Доказательство проводится аналогично доказательству критерия квадрируемости.

Пример. Пусть - прямая призма, то есть тело, у которого верхнее основание получено из нижнего основания сдвигом на вектор , перпендикулярный нижнему основанию (при этом, конечно, фигуры и равны). Докажем, что если основание квадрируемо, то сама призма кубируема, и ее объем вычисляется по формуле , где – высота призмы, то есть длина вектора .

Доказательство. Зафиксируем . Так как фигура квадрируема, то по критерию квадрируемости для найдутся многоугольники и такие, что и . Многогранник с высотой и основанием лежит внутри призмы, а многогранник с основанием и высотой содержит призму. Тогда разность объемов внешнего и внутреннего многогранников .

Тогда, по критерию кубируемости, призма кубируема.

По определению объема . С другой стороны,

. Отсюда видно, что , что и требовалось доказать.

Теорема (вычисление объёма через площадь поперечных сечений).

Пусть тело ограничено плоскостями и . Пусть каждое сечение тела плоскостью есть квадрируемая фигура , причем ее площадь является непрерывной функцией на отрезке . Тогда тело будет кубируемо и его объем вычисляется по формуле .

Доказательство.

Рассмотрим разбиение отрезка конечным набором точек

. Тогда , где объём части тела, заключённой между плоскостями и . В каждом частичном отрезке разбиения выберем точку . Сечение тела плоскостью есть квадрируемая фигура . Площадь – непрерывная функция, следовательно, если отрезок достаточно мал, то на нем изменяется мало, значит можно считать, что . Тогда объем приблизительно равен объему призмы с площадью основания и высотой .Учитывая формулу объема призмы, получаем . Тогда объем всего тела приближенно равен . Так как в правой части этого равенства стоит интегральная сумма Римана для функции на отрезке , то при мелкости разбиения стремящейся к нулю, получаем формулу .

Пример. Найти объем эллипсоида.

Решение. Запишем уравнение эллипсоида: .

Найдем сечение эллипсоида плоскостью :

В сечении эллипсоида плоскостью получился эллипс с полуосями

и . Площадь этого эллипса равна

. Подставляя в формулу вычисления объема тела через площадь поперечных сечений, получаем

.

В частном случае, когда все полуоси эллипсоида одинаковы и равны , получаем формулу объема шара .