Лабораторная работа № 4 Исследование резонансных явлений в разветвленной электрической цепи с источником синусоидальной эдс

Цель работы:

Исследовать электрическое состояние линейной разветвленной электрической цепи синусоидального тока при различных значениях нагрузок.

Задание:

1. Вычислить параметры элементов R, L, C в исследуемой электрической цепи;

2. Экспериментально проверить условие возникновения резонанса токов;

3. Вычислить: коэффициент мощности потерь (Cos φ), а также потребляемую активную Р, реактивную Q и полную S мощность при различных параметрах цепи;

3. По данным опыта построить векторные диаграммы для параметров U;I; P; Q; S.

Используемые приборы:

1.Стенд для исследования принципа работы разветвленной цепи, содержащей:

источник ЭДС, катушку индуктивности, набор конденсаторов и провода.

2. Амперметр переменного тока (мультиметр) с пределом изм. 0 – 1 А (1 шт.)

3. Вольтметр переменного тока (мультиметр) с пределом изм. 0 – 250 В (3 шт.)

4. Ваттметр с пределом измерения P = 0 – 50 Вт. (1 шт.)

*5. Генератор переменного тока с регулируемой частотой f = 0,5÷20 кГц; (1 шт.)

(*) в случае достижения резонанса за счет изменения частоты источника ЭДС.

Краткие теоретические сведения

Рассмотрим разветвленную электрическую цепь (рис. 4.1), содержащую синусоидальный источник ЭДС и параллельно соединенные нагрузки R, L, C, характеризуемые сосредоточенными параметрами, не зависящими от тока и напряжения на соответствующих элементах.

Свойства резонанса в разветвленной цепи:

а) Приложенное к элементам R, L, C цепи напряжение ЭДС Е ≈ U_АВ - неизменно.

* Напряжение U_АВ может отличаться от Е на величину ΔUпотерь в сопротивлении r₀ источника ЭДС.

б) В разветвленной цепи с R, L, C элементами оценивают полную проводимость Y и проводи-мости b_L, b_С, g_R каждой из ветвей.

* Аналогично можно оценить полное сопротивление Z цепи, если рассматривать схему как параллельное соединение отдельных ветвей, где:

Z_C = X_C; Z_L= R_L² + X_L².

Пусть: Z_L = X_L = 8 (Ом); Z_R = R = 6 (Ом); Z_C = X_C = 10 (Ом);

Y = g²+(b_L–b_C)² = 0,166²+(0,125–0,1)² = 0,1677; Z = 1/Y =1/0,1677 = 5,94 (Ом).

в) В цепи возникает резонанс токов (параллельный резонанс) только в случае выполнения равенства (b_L = b_С) реактивных проводимостей в элементах L и C.

*Добиться резонанса в цепи можно при изменении параметров: индуктивности L, либо емкости С при неизменной частоте f источника ЭДС.

г) При резонансе токи через катушку и конденсатор примерно равны: I_L ≈ I_С;

I_С = Е·ω·С; I_L = Е/ R_L²+(ω·L)²;

при этом, токи I_L и I_С могут значительно превышать общий ток источника I₀.

д) При резонансе общий ток (I₀) в цепи стремится к минимуму: I₀→I_MИН.

Ī₀ = Ī_R + j[Ī_C + (-Ī_L)].

Это обусловлено тем свойством, что при параллельном соединении элементов цепи R, X_L и X_С общее сопротивление цепи Z_Ц минимально (либо, проводимость цепи Y_Ц стремится к максимуму) только за пределами резонанса, а при резонансе сопротивление Z_Ц →Z_МАХ (либо, проводимость Y_Ц →Y_МИН).

е) При резонансе контур оказывает общему току I₀ чисто активное резонансное сопротивление R_РЕЗ = E /I₀.

Необходимо отметить, что R_РЕЗ >R_L и связаны они соотношением R_РЕЗ =ρ²/R_L;

г де волновое сопротивление ρ контура составляет: ρ = L·C.

Активное сопротивление цепи составит: R_L = ρ²/R_РЕЗ = L·C / (E /I₀).

ж) Активная мощность в резонансной цепи постоянна и зависит от величины R_L.

Если к цепи приложено напряжение источника синусоидальной ЭДС

е = Е_msin(ωt+ψ_е), (4.1)

то мгновенный и действующий токи составят:

i = I_msin(ωt – ψ_u) = I 2·sin(t+_i), [I = I_m / 2], (4.2)

где: е,Е_m,Е; i,I_m,I; u,U_m,U - мгновенные, амплитудные и действующие параметры;

 — угол сдвига фаз между напряжением и током.

Угол сдвига фаз  между напряжением и током определяют по формуле:

 = (_u–_i) = arctg(b_L–b_C)/g = arctg(b/g). (4.3)

Угол сдвига фаз можно также определить из треугольника проводимостей цепи.

Величины b_L = 1/ω·L = 1/(2π·f·L) и b_C = ω·C = (2π·f·C); (4.4)

называются индуктивной и емкостной проводимостью, а их разность

b = (b_С–b_L) - реактивной проводимостью цепи.

При условии b_L > b_C в цепи преобладает активно-индуктивная нагрузка; угол сдвига фаз  между током и напряжением – положительный; при этом ток через катушку больше тока через конденсатор.

Если b_L < b_C в цепи преобладает активно-емкостная нагрузка; угол сдвига фаз  между параметрами тока и напряжения – отрицательный; при этом ток через катушку меньше тока через конденсатор.

При условии b_L = b_C угол сдвига фаз  = 0, напряжение и ток совпадают по фазе, вызывая резонанс токов (их равенство) на резонансной частоте:

f _РЕЗ = 1/(2π· L·C); ω_РЕЗ = 1/ L·C ; [ = 2π·f — угловая частота]. (4.5)

Расчет в цепях переменного тока лучше проводить символическим методом по действующим значениям тока и напряжения. Уравнение электрического состояния цепи (рис. 4.1) в комплексной форме имеет вид:

Ī_о = (Ī_R, Ī_L)+ Ī_C; Ī = Ū_АВ·Y; Ī = Ū_АВ·(g+ jb) = Ū_АВ·[g + j(b_L–b_C)]. (4.6)

Величина Ý=[g+j(b_L–b_C)] называется полной комплексной проводимостью цепи.

В показательной форме полная комплексная проводимость имеет вид:

Ý = Y·e^j , (4.7)

где Y — вектор (модуль комплексной проводимости),  — фаза (аргумент).

Зависимость между действующими значениями тока и напряжения, а также угловой частотой  и сосредоточенными параметрами отдельных приемников R, L, C в комплексной форме и в действительном виде составит:

Ī = Ū ·Ý; I = U·Y

Ý = g+jb Y = g_L² +(b_L –b_C)², (4.8)

* Полная проводимость Y цепи при резонансе несколько больше проводимости g_L на величину активного сопротивления R _L. Поэтому в общем случае b_L ≠ b_C.

Приложенное напряжение U_АВ к элементам цепи создает ток, протекающий в реактивных элементах:

I_L = U_АВ·b_L; I_C = U_АВ·b_C. (4.9)

При взаимной компенсации токов I_L и I_C имеет место резонанс токов, при котором полная проводимость равна активной проводимости, и действующее значение тока в цепи достигает наименьшего значения:

Y = g_L I₀ = U_АВ·g_L. (4.10)

Примечание: при резонансе полная проводимость Y = g_L→Y_МИН цепи снижается, что эквивалентно повышению полного сопротивления цепи Z→Z_МАХ, т.к. Z = 1/Y.

Это свойство вызывает снижение полного тока в цепи: I → I_МИН.

При резонансе действующие значения токов на L и C элементах составит:

I_L = U_АВ·(b_L) = I_C = U_АВ·(b_C) (4.11)

и будут больше входного тока I₀ исследуемой электрической цепи, который уравновешивается током через резистор R_L.

Повышение тока I_L и I_C на реактивных элементах по сравнению с током I₀ имеет место при существовании неравенств: g_L < b_L и g_L < b_С.

Повышение тока на реактивных элементах по сравнению с полным током I цепи (который снижается при резонансе) характеризует добротность цепи q:

q = I_L/I = I_C/I = g_L/b_L = g_L/b_C. (4.12)

Мгновенную мощность в цепи определяют как произведение мгновенных величин напряжения (u) и тока (i): p_(t) = (u·i).

Среднее, за период, значение действительной активной мощности составит:

_T

P = [ ∫(u·i)dt ] / T = U_AB·I·cos = U_AB·I₀ = U_AB²·g_L = I²/g_L = I²·R_L. (4.13)

⁰

Активная мощность характеризует среднюю мощность преобразования энергии в цепи. Реактивная мощность Q два раза за период запасается в виде кинетической энергии в катушке, либо в виде потенциальной энергии в конденсаторе, т.е. периодически генерирует в элементах L и C, не требуя для их перезарядки значительной энергии от источника ЭДС - (достоинство).

Q = (I_L – I_C)²/b = U_AB²·b, (ВАР). (4.14)

Амплитуду колебания мощности в цепи характеризуют полной мощностью S, определяемую как действие тока в элементах при преобразовании энергии.

Между активной, реактивной и полной мощностями существует соотношение:

S = U·I′; (Ś = Ū·Ī′); Ś = P +jQ; (ВА) (4.15)

При определении S = E·I′ необходимо записывать ток в сопряженной форме (I′)!

Активная и реактивная мощность характеризует темп преобразования энергии:

P = S·cos; Q = S·sin; (4.16

Если реактивная мощность положительная, то она носит индуктивный характер, а если Q отрицательная — то она носит емкостный характер.

При резонансе ток в цепи достигает мин. значение I = U_AB∙g.

Это приводит к снижению полной мощности в цепи, при Р = const.

P = E²·g или P = I_r² / g. (4.17)

Активная проводимость g не влияет на частоту резонанса, а определяет ток и добротность цепи. Добротность q при резонансе, как следует из условия резонанса больше единицы и зависит от параметров L, C, f.

В зависимости от соотношения между b_L и b_C проводимость Y может носить индуктивный характер, емкостный или быть чисто активной.

Векторные диаграммы токов при различных нагрузках приведены на рис. 4.3

.

Рис. 4.3. Векторные диаграммы при различных видах нагрузок.

Векторную диаграмму строят по уравнению Ī = [(Ī_R, Ī_L)+ Ī_C] = Ī_K + Ī_C;

где (Ī_R и Ī_L) = Ī_K активно-индуктивная составляющая тока в катушке.

При построении векторной диаграммы необходимо помнить, что

I_К = I_L только при R_L ≈ 0. У исследуемой катушки R_L ≠ 0; R_L >> 0, поэтому,

I_К = I_R+ jI_L, где величины I_R = g_R·Ū_АВ; I_L = b_L·Ū_АВ.