Вариант № 3

1. Наиболее часто встречаются следующие пары взаимно двойственных задач:

(I) и (II).

В двойственных задачах коэффициенты при переменных в целевой функции и свободные члены в системе ограничений, записанные в правых частях, меняются местами; целевая функция двойственной задачи должна минимизироваться, если в исходной она максимизировалась, и наоборот; знаки неравенств в системе ограничений изменяются на противоположные.

Имеет место следующая теорема двойственности:

Если одна из двойственных задач линейного программирования имеет решение, то и другая задача также имеет решение, причём L_max = L¹_min.

2. Пусть (а_ij) –матрица игры формата .

Верхней ценой матричной игры называется величина = .

Стратегия игрока 2, запрещающая игроку 1 получение выигрыша большего , называется минимаксной стратегией.

Правило нахождения верхней цены игры и минимаксной стратегии:

1) находим в каждом столбце матрицы игры максимальный элемент и выписываем его в отдельную строку;

2. выбираем в построенной строке минимальный элемент или элементы, если их окажется несколько. Он (они) и будут равны верхней цене игры, а номера столбцов, в которых расположены эти элементы будут соответствовать минимаксным стратегиям игрока 2.

3. Если каждому набору ( ), где x и y – количество единиц первого и второго вида товаров, поставить в соответствие потребительскую оценку этого набора в виде некоторого числа u, то получим функцию полезности потребителя u=u( ), при этом, если , то набор предпочтительнее .

В качестве товаров, или благ могут выступать, например, продовольственные товары, непродовольственные товары, платные услуги и т.д.

Частные производные от функции полезности потребителя называются предельными полезностями соответствующих продуктов:

– предельная полезность первого продукта;

– предельная полезность второго продукта.

Свойства функции полезности

1. Возрастает по каждой переменной, т.е. потребление одного продукта при постоянном потреблении другого приводит к росту функции полезности и, следовательно, предельные полезности неотрицательны.

2.  Предельная полезность уменьшается с ростом каждой переменной (Закон убывания предельной полезности), т.е. частная производная от предельной полезности продукта по той же переменной должна быть отрицательной, и тогда

, .

3.  Вторая частная производная от предельной полезности продукта по другой переменной должна быть положительной, т.е. предельная полезность увеличивается с ростом другой переменной (другого продукта). Таким образом,

.

Вариант № 4

1. В общем виде транспортная задача формулируется следующим образом:

составить оптимальный план перевозки груза от m поставщиков, у которых имеется, соответственно, а₁, а₂, …, а_i …, a_m единиц груза к n потребителям которых составляют b₁, b₂, …, b_j, …, b_n единиц груза, соответственно, если известно, что стоимость перевозки единицы груза (тариф) от i-го поставщика к j -му потребителю составляет С_ij денежных единиц.

Общий объем груза, находящийся у всех поставщиков, составляет

а₁ + а₂ + … + а_m = (ед.).

Суммарная потребность в грузах всех потребителей равна

b₁ + b₂ + … + b_n = (ед.).

Если = то такая транспортная задача называется закрытой, в противном случае - открытой.

В случае открытой транспортной задачи для её решения необходимо привести её к закрытой путем введения либо фиктивного поставщика (когда потребности превосходят ресурсы), либо фиктивного потребителя (когда ресурсы превосходят потребности). Фиктивных поставщиков и потребителей включают в задачу с нулевыми тарифами, чтобы они не оказывали влияния на целевую функцию.

2. Если один из игроков, как правило, игрок 2, является стихийной силой (например, покупательский спрос, уровни температур или влажности окружающей среды и т.д.), то такие игры называют играми с природой или средой.

Если игрок знает только, какие могут быть состояния среды, то происходит принятие решения в условиях неопределённости. Если же игрок имеет дополнительную информацию о поведении среды, например, известен прогноз погоды или вероятности наступления тех или иных её состояний, то в этом случае говорят о принятии решения в условиях риска.

3. Линии уровня функции полезности называются линиями безразличия. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия.

у C₁ C₂ C₃

0 х

< . Линии безразличия не касаются и не пересекаются.