Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде

(4)

а также в виде

(5)

Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть выражения входило только , в другую только и затем проинтегрировать обе части.

При делении обеих частей уравнения на выражение содержащее неизвестные и , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль, поэтому желательно рассмотреть эти случаи.

П р и м е р. Решить уравнение

Приводим уравнение к виду (5): .

Делим обе части уравнения на .

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения

; ,

– общее решение.

При делении на могли быть потеряны решения и у –1 =0. Очевидно, у=1 – решение уравнения, а – нет.

П р и м е р. Найти частное решение уравнения

, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 1.

Найдем общее решение уравнения . Приводим уравнение к виду (4): , . Разделяем переменные в уравнении ( ):

Интегрируем, используя метод разложения на простейшие дроби:

– общее решение.

Проверяем функции и . Они также будут являться решением исходного уравнения.

Подставим начальное условие у(0) = 1: , . – частное решение.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид

(6)

Функция , зависящая только от отношения переменных, называется функцией нулевой степени.

Вообще, функция называется однородной степени , если для любых и и выполняется равенство

Уравнение вида (6) приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой . Вычислив производную и подставив в уравнение(6), получим

В этом случае, если , разделяя переменные и интегрируя , получим

Если же найдутся такие значения , при которых то каждому такому будет отвечать решение не вытекающее из общего интеграла.

П р и м е р. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде и положим , откуда Подставляя в уравнение и получим:

Последнее получим при условии Интегрированием находим

Учитывая, что и обозначая получим

.

Заменяя на , получим общий интеграл

Положим теперь и Но не удовлетворяет уравнению при произвольном . Из второго равенства имеем Проверка показывает, что эти функции являются решениями уравнения.

Линейные уравнения и уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение вида

(7)

называется линейным относительно переменной , а дифференциальное уравнение вида

, (8)

называется уравнением Бернулли. Линейное уравнение и уравнение Бернулли можно интегрировать одним методом. Рассмотрим этот метод на примере линейного уравнения. Решение уравнения будем искать в виде произведения , двух функций. Тогда и .

В качестве выбирают любую функцию, обращающую выражение в скобках в нуль: а затем находят все функции , удовлетворяющие уравнению

Функции и являются решениями дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Уравнения линейные относительно : решаются с помощью подстановки где

П р и м е р. Решить уравнение

Уравнение является линейным, так как можно считать, что, Будем искать решение в виде произведения в котором функции находим из системы

причем, интегрируя первое уравнение системы, произвольную постоянную полагаем равной нулю.

Первое уравнение перепишем в виде Интегрируем его Откуда Из второго уравнения системы найдем Таким образом,