Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения типа
(9)
решаются последовательным интегрированием
П
р и м е р. Решить уравнение
Решение.
Интегрируя, получим
,
;
,
.
Уравнения не содержащие явно искомую функцию y
,
(10)
Подстановка
,
приводит это уравнение к уравнению
первого порядка относительно функции
:
Решая
это уравнение, находим функцию
,
а затем и
:
П
р и м е р. Решить уравнение
Решение.
Вводим новую функцию
,
тогда
.
Подставив
ее в уравнение, имеем
.
Это
линейное уравнение первого порядка
относительно z и его
решение разыскиваем в виде произведения
:
Учитывая
требования
находим
функцию
:
.
Подставляем в уравнение для определения
Отсюда
Таким
образом,
и можно найти функцию
:
Уравнение, не содержащее явно независимую переменную х
(11)
Для
его решения положим
Тогда по правилу дифференцирования
сложной функции, получим
Подставляя
и
в данное уравнение, получим уравнение
первого порядка для вспомогательной
функции
Решая
его, найдем p как
функцию у
и постоянной
:
а затем найдем и
из соотношения
П
р и м е р. Найти решение задачи Коши:
Решение.
Это уравнение не содержит
.
Делая замену
и подставляя в уравнение, получим
Подставляя
начальные данные
найдем
Поскольку
то
Имеем
Подставляя
получим
После чего найдем:
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
(12)
где
Если
,
то уравнение называется однородным.
Общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного линейного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения
,
где
общее
решение неоднородного уравнения;
его частное решение;
общее
решение соответствующего однородного
уравнения.
Рассмотрим однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
.
(13)
Его
характеристическое уравнение
может иметь
1)
два различных действительных корня
2)
действительный кратный корень кратности
два
3)
два комплексно-сопряженных корня
В
зависимости от вида корней, в первом
случае частным решением однородного
уравнения будут функции
и
а общее решение запишется в виде
Во
втором случае (действительный корень
кратности 2) частными линейно-независимыми
решениями однородного уравнения будут
функции
и
а общее решение запишется как
В случае комплексных корней ( ):
П
р и м е р. Найти общее решение уравнения
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
Корни комплексные, комплексно-сопряженные,
причем
Следовательно, общее решение имеет вид
П р и м е р. Найти общее решение уравнения
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет
два различных действительных корня
Следовательно,
П
р и м е р. Найти общее решение уравнения
Решение.
Характеристическое уравнение
запишем в виде
Отсюда следует, что оно имеет один
действительный корень кратности 2:
и общее решение уравнения
запишется как
Если в уравнении (12) с постоянными коэффициентами функция имеет вид
(14)
то это уравнение называется неоднородным со специальной правой частью.
Здесь
и
– многочлены порядка n
и m соответственно.
Частное решение неоднородного уравнения
ищется точно в таком же виде:
но
функции
и
– это многочлены с неопределенными
коэффициентами порядка
и, следовательно, содержат все степени
x не меньше чем l.
Кроме
того, показатель степени r
называемый кратностью, равен количеству
корней характеристического уравнения,
совпадающих с числом
П
р и м е р. Найти общее решение неоднородного
уравнения
.
Решение. Рассмотрим однородное уравнение
Его
характеристическое уравнение
имеет корни
Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
Так
как
то
Кратность
в силу того что
.
Для определения коэффициентов
и
подставим частное решение
в исходное уравнение:
Равенство можно преобразовать к виду
Так
как мы требуем, чтобы функция
была решением уравнения, то равенство
должно выполняться тождественно.
Следовательно, коэффициенты при
одинаковых функциях в левой и правой
частях равенства должны быть равны:
Решая
систему уравнений, определим коэффициенты
.
Следовательно, частное решение
неоднородного уравнения и общее решение
неоднородного уравнения будут иметь
вид:
П р и м е р. Найти частное решение неоднородного
уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
Решение.
Найдем общее решение уравнения
.
Характеристическое уравнение
соответствующего однородного уравнения
имеет корни
и общее решение однородного уравнения
имеет вид
Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме
(
так как характеристическое уравнение
имеет корень
совпадающий с числом
).
Коэффициенты
определим, подставляя решение в исходное
уравнение:
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых функциях
в левой и правой частях тождества,
получим систему уравнений для определения
Решая
ее, найдем
.
Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид
Чтобы определить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (решить задачу Коши), найдем производную общего решения неоднородного уравнения
Подставляя
в найденное решение и его производную
начальные условия, получим систему
уравнений для определения коэффициентов
и
Решая
ее, определим
:
Следовательно, искомое частное решение запишется в виде
