Упражнения

1. Пользуясь свойствами функции у = sin x, сравните числа:

1. sin 100⁰ и sin 130⁰;

2. sin 1⁰ и sin 1;

3. sin и sin ;

4. sin и sin .

2. Пользуясь свойствами функции у = cos x, сравните числа:

1. cos 10⁰ и cos 40⁰;

2. cos (- 2) и cos (- 3);

3. cos и cos ;

4. cos и cos .

3. Пользуясь свойствами функции у = tg x, сравните числа:

1. tg 15⁰ и tg 140⁰;

2. tg и tg ;

3. tg (- 1, 2 ) и tg (- 0, 1 );

4. tg и tg .

4. Пользуясь свойствами функции у = ctg x, сравните числа:

1. ctg 3⁰ и ctg 5⁰;

2. ctg и ctg ;

3. ctg (- 1) и ctg (- 1, 2);

4. ctg и ctg .

5. Расположить числа в порядке их возрастания:

1. sin 3,3, sin 3,9, sin 1,2;

2. cos 0,3, cos 1,9, cos 1,2;

3. tg 0,7, tg (- 1,3),tg 1,5;

4. ctg 0,5, ctg 2,9, ctg 1,1.

6. Постройте график функции:

1. у = 3sin x;

2. у = sin ;

3. у = sin (- x);

4. у = - sin x;

5. у = cos 3x;

6. у = cos (- x);

7. у = - cos x;

8. у = 2 cos x;

9. у = |cos x|;

10. у = - |sin x|;

11. y = tg (- x);

12. y = tg | x|;

13. y = |tg x|;

14. y = tg 2x;

15. y = - ctg x;

16. y = 3 ctg x;

17. y = ctg (- x);

18. у = sin 3x;

19. у = sin x + 1;

20. у = cos ;

21. у = cos x - 1;

22. у = cos |x|;

23. у = sin (x - );

24. у = cos (x + );

25. у = tg (x - );

26. у = ctg (x + );

27. у = tg (x - );

28. у = 2cos (x - );

29. у = cos ( x + );

30. у = sin ( x - );

31. у = - 2sin (3x - ).

Занятие № _____

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа .

Решение простейших тригонометрических уравнений

1. Понятие обратной функции

Известно, что зависимость пути от времени движения тела, которое движется равномерно с постоянной скоростью v₀, выражается формулой S = v₀t. Из этой формулы можно найти обратную завиcимость –

времени от пройденного пути . Функцию называют обратной к функции S(t)= v₀t. Отметим, что в рассмотренном примере каж­дому значению t (t 0) соответствует единственное значение S и, наоборот, каждому значению S (S 0) соответствует единственное значение t.

Рассмотрим процедуру получения обратной функции в общем виде.

Пусть функция f (х) принимает каждое свое значение в единственной точке ее области определения (такая функция называется обратимой). Тогда для каждого числа y₀ = b (из области значений функции f(х)) существует един­ственное значение х₀ = а, такое, что f(а) = b. Рассмотрим новую функцию g(х), которая каждому числу b из области значений функции f(х) ставит в соответ­ствие число а, то есть g(b) = а для каждого числа b из области значений функ­ции f(х). В этом случае функция g(х) называется обратной к функции f(х), а функция f(х) - обратной к функции g(х). Поэтому говорят, что функции f(х) и g (х) взаимно обратные.

Из определения обратной функции вытекает, что область значений пря­мой функции Е(f) является областью определения обратной функции D(g), а область определения прямой функ­ции D(f) является областью значений обратной функции Е(g). То есть Е(f) = D(g), D(f) = Е(g).

1. Понятие обратной функции
Если функция у = f(х) принимает каждое свое значение в единствен­ной точке ее области определения, то можно задать функцию у = g(х), которая называется обратной к функции у = f(х): для каждого , если , то Е(f) = D(g), D(f) = Е(g) g Функции f(х) и g(х) взаимно обратные
2. Свойства обратной функции
	1) Графики прямой и обратной функций симметричны относи­тельно прямой у = х.
	2) Если функция f(х) возрастает (убывает) на некотором проме­жутке, то она имеет обратную функцию на этом промежутке, которая возрастает, если f(х) возрастает, и убывает, если f(х) убывает.
3. Практический прием нахождения формулы функции, обратной к функции у = f(х)
Алгоритм	Пример
Выяснить будет ли функция у = f(х) обратимой на всей области определения: для этого достаточно выяснить, имеет ли уравнение у = f(х) единственный корень относительно переменной х. Если нет, то попытаться выделить промежуток, где существует обратная функция (например, это может быть промежуток, где функция у = f(х) возрастает или убывает). Из равенства у = f(х) выразить х через у. В полученной формуле ввести традиционные обозначения: аргумент обозначить через х, а функцию – через у.	Найдите функцию, обратную к функции у = 2х + 4. Решение: Из равенства у = 2х + 4 можно однозначно выразить х через у: х = у – 2. Эта формула задает обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через у, а функция – через х. Обозначим в полученной формуле аргумент через х, а функцию – через у. Получаем функцию у = х – 2, обратную к функции у = 2х + 4.

2. Для получения обратных тригонометрических функций для каждой три­гонометрической функции выделяется промежуток, на котором она возрас­тает (или убывает). Для обозначения обратных тригонометрических функ­ций перед соответствующей функцией ставится буквосочетание «агс» (чита­ется: «арк»).

Функция у = arcsin x
1.1. График
y = sin x	у = arcsin x
На промежутке sin x возрастает
1.2. Значение у = arcsin a ( )
Ориентир	Пример
аrcsin a – это такое число из промежутка , синус которого равен a. аrcsin a = , если ,	аrcsin = , так как и sin =
1.3. Нечетность функции у = arcsin x
	аrcsin (-a) = - аrcsin a

2. Функция у = arccos x
2.1. График
y = cos x	у = arccos x
На промежутке cos x убывает
2.2. Значение у = arccos a ( )
Ориентир	Пример
аrccos a – это такое число из промежутка , косинус которого равен a. аrccos a = , если ,	аrccos = , так как и cos =
2.3. Формула для arccos (- a)
	arccos (-a) = - arcos a

3. Функция у = arctg x
3.1. График
y = tg x	у = arctg x
На промежутке tg х возрастает
3.2. Значение у = arctg a
Ориентир	Пример
аrctg a – это такое число из промежутка , тангенс которого равен a. аrctg a = , если ,	аrctg = , так как и tg =
3.3. Нечетность функции arctg a
	arctg (-a) = - arсtg a

4. Функция у = arcctg x
4.1. График
y = ctg x	у = arcctg x
На промежутке ctg х убывает
4.2. Значение у = arcctg a
Ориентир	Пример
аrcctg a – это такое число из промежутка , котангенс которого равен a. аrcctg a = , если ,	аrcctg = , так как и ctg =
4.3. Формула для arcctg (- a)
	arcctg (-a) = - arcсtg a

3. Решение простейших тригонометрических уравнений

Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, в которых неизвестное (переменнная) входит только под знак тригонометрической функции.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения соs х = а, sin х = а, tg х = а,

ctg х = а.

1. Уравнение соs х = а
Графическая иллюстрация
Решения			Частные случаи
>1		1	cos x = 0	x = k, k
корней нет		х = arccos а + 2 k, k	cos x = 1	x = 2 k, k
			cos x = - 1	x = +2 k, k
2. Уравнение sin х = а
Графическая иллюстрация
Решения			Частные случаи
>1	1		sin x = 0		x = k, k
корней нет	х = (-1)k arcsin а + k, k		sin x = 1		x = + 2 k, k
			sin x = - 1		x = - +2 k, k

3. Уравнение tg х = а
Графическая иллюстрация
Решениe	Частные случаи
x = arctg a + k, k	tg x = 0		x = k, k
4. Уравнение ctg х = а
Графическая иллюстрация
Решениe	Частные случаи
x = arcctg a + k, k	ctg x= 0	x = + k, k