Примеры решения задач

1. Решите уравнение cos x = .

Поскольку < 1, то данное уравнение вида cos x = а имеет корни, которые можно найти по формуле х = arccos а + 2 k, k . Поэтому

х = arccos + 2 k, k ;

х = + 2 k, k ;

х = + 2 k, k .

Ответ: х = + 2 k, k

2. Решите уравнение cos x = .

Поскольку > 1, то данное уравнение

не имеет корней.

Ответ: корней нет

3. Решите уравнение cos 4x = .

Поскольку < 1, то можно воспользоваться формулой

х = arccos а + 2 k, k .

Учитывая, что arсcos не является

табличным значением, для получения

ответа достаточно после нахождения

4х по формуле обе части последнего

уравнения разделить на 4. Таким образом,

4х = arccos + 2 k, k ;

х = arccos + , k ;

х = arccos + , k .

Ответ: х = arccos + , k

4. Решите уравнение cos (2х - ) = .

Решение:

2х - = arccos + 2 k, k ;

2х - = + 2 k, k ;

2х = + 2 k, k ;

х = + k, k .

Ответ: х = + k, k

5. Решите уравнение sin x = .

Решение:

х = (-1)^k arcsin + k, k ;

х = (-1)^k + k, k .

Ответ: х = (-1)^k + k, k

6. Решите уравнение sin x = .

Решение:

> 1, то корней нет.

Ответ: корней нет

7. Решите уравнение sin (2х + ) = .

Решение:

2х + = (-1)^k arcsin + k, k ;

2х + = (-1)^k + k, k ;

2х = (-1)^k - + k, k ;

х = (-1)^k - + , k .

Ответ: х = (-1)^k - + , k

8. Решите уравнение tg ( - ) = 1.

Решение:

- = arctg1 + k, k ;

- = + k, k ;

= + + k, k ;

= + k, k ;

х = + 2 k, k

Ответ: х = + 2 k, k

Упражнения

1. Вычислите:

1. arcsin 0;

2. arcsin 1;

3. arcsin ;

4. arcsin ;

5. arcsin (-1);

6. arcsin ;

7. arctg 0;

8. arctg 1;

9. arctg ;

10. arccos 1;

11. arccos 0;

12. arccos ;

13. arccos ;

14. arcctg ;

15. arcctg .

2. Вычислите:

1. sin(arcsin );

2. cos(arccos 5);

3. tg(arctg );

4. ctg(arcctg 5);

5. sin(arccos );

6. cos (arcsin );

7. ctg(arctg );

8. tg(arcctg ).

3. Решите уравнение:

1. sin x =

2. sin 3x =

3. sin 2x = -1

4. sin ( - ) = 0

5. sin (2x + ) = 1

6. 2sin x = -

7. 2sin =

8. cos 3x =

9. cos 5x = 0

10. cos 2t = -0,5

11. cos (2x- ) = -1

12. cos ( - ) = -

13. tg 3x = -1

14. tg (3x + ) = -

15. tg (2x - ) = 0

16. ctg 2x = -1

17. ctg 5x =

18. ctg =

19. ctg (2x + 45⁰) = -1

4. Решите уравнение:

1. 2sin² x + sin x – 1 = 0;

2. 3sin² x - 5sin x – 2 = 0;

3. 4sin² x + 11sin x – 3 = 0;

4. 3sin² 2x + 10sin 2x + 3 = 0;

5. 2sin² - 3sin + 1 = 0;

6. sin² 3x + 2sin 3x – 3 = 0;

7. 2sin² x - 3sin x + 1 = 0;

8. 2cos² x – cos x – 3 = 0;

9. 2cos² x – 5cos x – 3 = 0;

10. 2cos² x + cos x – 1 = 0;

11. 2cos² 3x - 5cos 3x – 3 = 0;

12. 2cos² 2x – cos 2x – 1 = 0;

13. 2cos² + 3cos – 2 = 0;

14. tg² x – 2tg x – 3 = 0;

15. 4tg² x – tg x – 3 = 0;

16. 3tg² x + 2tg x – 1 = 0;

17. 2tg² x + 3tg x – 2 = 0;

18. 3ctg² 2x + ctg 2x – 4 = 0;

19. 3ctg² + ctg – 2 = 0;

20. ctg² 2x - 6ctg 2x + 5 = 0;

21. 7ctg² + 2ctg = 5.

5. Решите уравнение:

1. 2sin² x + cos x = 0;

2. 8sin² 2x + cos 2x + 1 = 0;

3. 5cos² x + 6sin x – 6 = 0;

4. 4sin3x + cos² 3x = 4;

5. sin² x + 2sin x cos x - 3cos² x = 0;

6. sin² x - 4sin x cos x + 3cos² x = 0;

7. sin² x + sin x cos x - 2cos² x = 0;

8. 3sin² x + sin x cos x - 2cos² x = 0.

Занятие № _____

Решение тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами считают неравенства вида sin x > a , cos x > a, tg x > a, ctg x > a (на месте знака «>» может стоять любой из знаков неравенства: «<, ≤, ≥»)

1. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств
с помощью единичной окружности	с помощью графиков

с помощью единичной окружности	с помощью графиков
2. Способы решения более сложных тригонометрических неравенств
А) использование равносильных преобразований и, в частности, сведение тригонометрического неравенства к алгебраическому по схеме: 1) к одному аргументу, 2) к одной функции, 3) замена переменной (аналогично схеме решения тригонометрических уравнений) и последующее решение полученных прстейших тригонометрических неравенств. Б) использование метода интервалов (после сведения неравенства к виду , ) по схеме: Найти ОДЗ неравенства. Найти общий период (если он существует) для всех функцій, входящих в неравенство, то есть период функции . Найти нули функции: = 0. Отметить нули функции на ОДЗ на одном периоде и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (на одном периоде). Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства и период функции .