Образец таблицы исходных данных для определения закона распределения

ti	t'				/ - /
0 - 100 100 - 200 200 - 300 300 - 400 400 - 500	50 150 250 350 450	20 40 34 30 13	0,00145 0,00290 0,0024 0,0021 0,0009	0,0012 0,0022 0,0025 0,0019 0,001	0,00025 0,0007 max 0,0001 0,0002 0,0001

Примечание:

t_i - длина i-го интервала времени; - число отказов в интервале t_i;

- частота отказа; ;

N_о - число объектов, работоспособных в начальный момент времени t = 0.

Под значением построить графики в зависимости от ,

II этап. На втором этапе по данным табл. 4.1 строится гистограмма - ступенчатая функция, задаваемая следующим образом: по оси абсцисс - выбранные t_i, по оси ординат - число отказов в интервале t_i.

Пример гистограммы приведен на рис. 4.1.

Исходя из вида гистограммы, подбирается вид закона распределения времени безотказной работы.

Рис. 4.1. Пример построения гистограммы

Рекомендуемые законы распределения для различных типов гистограмм представлены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Коэффициент вариации
0,3 < V < 1	Экспоненц.	Нормальный Усеч. норм.	Нормальный Усеч. норм.
V  1	Экспоненц.	Нормальный Логарифм. норм.	Нормальный Вейбула
V > 1	Экспоненц. Вейбула	Нормальный	Нормальный
V  3	Вейбула	Нормальный Вейбула	Нормальный Усеч. норм.

Коэффициент вариации ,

где  - среднее квадратическое отклонение, ;

T_o - среднеарифметическая величина, ;

t_i - моменты отказов оборудования (принимаются по табл. 4.5).

III этап

После предположительного установления вида закона распределения можно приступить к оценке его параметров. Рассмотрим некоторые методы оценки параметров различных законов распределения времени безотказной работы оборудования и машин.

Экспоненциальный закон

Прежде всего, следует отметить, что экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов элементов и систем в целом. Экспоненциальное распределение хорошо описывает время безотказной работы сложных систем, состоящих из большого числа разнородных компонентов, а также электронной аппаратуры. Кроме того, вследствие неизменности величины интенсивности отказов расчеты надежности при применении этого распределения наиболее просты. В этом случае функция распределения наработки до отказа представлены в общем виде на рис. 4.2, а.

Функция плотности вероятности времени безотказной работы имеет вид:

при t_i  0. (1)

Оценка параметра  производится по формуле:

.

Нормальный закон (рис. 4.2, б)

Нормальный закон наиболее часто используется для оценки надежности изделий при наличии постепенных отказов. Нормальное распределение используется для описания систем и элементов, подверженных действию износа. Плотность вероятности нормального закона задается отношением:

при t_i  0 (2)

где Т_о - средняя наработка до отказа;

 - среднее квадратическое отклонение.

Оценка параметров Т_о и  для всех планов испытаний производится по формулам:

,

где t_i - моменты отказов оборудования или машин (табл. 4.4);

N - число наблюдений.

Формулы для расчета показателей надежности при нормальном распределении, с учетом функции Лапласа, приведены в табл. 4.4. Графики распределения представлены на рис. 4.2, а.

Это распределение описывает поведение случайных величин в интервале (- ∞, + ∞). Однако время является неотрицательной величиной. Поэтому также используется усеченное нормальное распределение, при t >0. При этом вероятность безотказной работы, плотность распределения наработки до отказа, частота отказов и наработка до отказа определяются по соотношениям, приведенным в табл. 4.4.

Логарифмически-нормальный закон

Функция плотности вероятности этого закона имеет вид:

при t_i  0 (3)

Оценка параметров а₁ и ₁ производится по формулам:

.

Логарифмически-нормальный закон хорошо описывает период износовых отказов (рис. 4.2, б).

Закон распределения Вейбулла - характерен для комбинированных случаев совместного действия усталостных и износных отказов. Распределение Вейбулла - двухпараметрическое распределение, может быть применено для описания наработки до отказа ряда электронных и механических систем, включая период приработки.

Формулы для расчета показателей надежности при распределении Вейбулла см. в табл. 4.4.

При В=1 распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным (см. рис. 4.2, а), когда интенсивность отказов постоянна, при В>1 интенсивность отказов монотонно возрастает (рис. 4.2, в), a В<1 - монотонно убывает (рис. 4.2, г).

Функция плотности вероятностей этого закона имеет вид:

при t_i  0. (4)

Значения В принять в соответствии с табл. 4.3 по коэффициенту вариации V.

Значения параметров  и В определяются соответственно:

.

Таблица 4.3