3.3.2 Корреляционный анализ
С помощью корреляционного анализа на основе оценки разброса значений переменных относительно их средних значений устанавливают степень зависимости между переменными x и y. Линейная зависимость между ними при нормальности их совместного распределения измеряется коэффициентом корреляции
Независимо от способа получения выборки для переменных необходимо:
построить диаграмму рассеяния, то есть графически отобразить точки (xi, yi ) на плоскости (x, y);
провести анализ диаграммы рассеяния (рис. 3.3) для определения вида рассеяния.
Если
,
то линейная зависимость между переменными
есть, и она тем сильнее,
чем больше
.
При
имеет место функциональная линейная
зависимость между
x
и y
вида
причем, если
,
то говорят о положительной корреляции,
то есть большие значения одной величины
соответствуют большим значения другой;
при
имеет место отрицательная корреляция;
при
вероятна линейная корреляция с рассеянием
(рис. 7.1в), либо не линейная корреляция
(рис. 7.1.г).
Рис. 3.3 Графическое представление корреляции между переменными
Для оценки точности определения может использоваться коэффициент w, подчиняющийся нормальному распределению
с математическим ожиданием и дисперсией
,
.
После анализа диаграммы рассеяния и получения значения необходимо убедиться в том, что действительно имеется статистически значимая корреляционная зависимость между переменными. Это делают проверкой нулевой гипотезы о равенстве коэффициента корреляции нулю. Если нулевая гипотеза отвергается, то корреляционная зависимость признается значимой.
Наличие тесной зависимости между переменными еще не означает их причинно-следственной связи, поскольку может иметь место коррелированность последовательности случайных чисел, используемых для имитации случайных воздействий. Поэтому необходимо уточнить зависимость методами регрессионного анализа.
3.3.3 Регрессионный анализ
Регрессионный анализ заключается в построении модели в виде уравнения регрессии, которое связывает зависимое переменное с независимым и содержит неизвестные параметры, являющиеся коэффициентами уравнения. Если уравнение предполагается линейным относительно параметров, то регрессия считается линейной, в противном случае регрессия нелинейная. При этом решаются две задачи:
установление наличия причинно-следственной связи между переменными;
прогнозирование значений зависимой переменной по значениям независимой.
Если
зависимость между x
и y
предполагается
линейной, то она может быть представлена
уравнением
,
где
параметры
уравнения.
В
этом случае целью регрессионного анализа
является отыскание наилучших в
статистическом смысле оценок параметров
уравнения. Знание их позволяет легко
найти прогнозируемое значение y
при
.
Для нахождения оценок значений параметров применяют метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому функция ошибки
,
(3.21)
где N – объем выборки.
Условием минимума функции (3.21) является равенство нулю первых частных производных функции по параметрам , т.е.
Решая эту систему уравнений, получают выражения для параметров уравнения регрессии
Для нормально распределенных процессов примерно 67% точек находится в пределах стандартного отклонения от линии регрессии и 95% - в пределах двух стандартных отклонений.
В случае нескольких независимых переменных имеет место множественная линейная регрессия. В этом случае для отыскания оценок также используется метод наименьших квадратов.
В случае нелинейной регрессии основой для построения регрессионной модели опять-таки является МНК. Однако в этом случае для отыскания оценок параметров строится система нелинейных уравнений (относительно параметров), а для ее решения используются различные итерационные методы.
Вопросы для самопроверки
1.В чем необходимость и сущность стратегического планирования эксперимента?
2.Какой план применяют при идентификации факторов?
3.Как обеспечивается требуемая точность и достоверность результатов моделирования?
4.Перечислите числовые характеристики распределения экспериментальных данных.
5.Сущность оценки адекватности модели.
6.Устойчивость модели и процедура ее проверки.
7.В каких случаях применяется дисперсионный анализ?
8.Почему после корреляционного анализа необходимо производить и регрессионный анализ?
9.Раскройте процедуру регрессионного анализа.
10.Чем отличается критерий согласия Смирнова от критерия согласия Пирсона?