4.2 Алгоритмизация непрерывно – детерминированных моделей

Для моделирования объекта на ЦВМ необходима алгоритмизация математического описания, которая заключается в получении соответствующего ему алгоритма. Алгоритмизация, например, ДУ сводится к составлению алгоритма численного решения этого ДУ.

При этом стремятся получить аналитическую форму алгоритма в виде явной функции соответствующих аргументов или в виде рекуррентной формулы, которая основана на использовании решетчатых функций и находит самое широкое применение при алгоритмизации функций, ДУ, таблиц, математических моделей САУ и др. на ЦВМ.

4.2.1 Решетчатая функция. Разностные и рекуррентные уравнения

Решетчатая функция (РФ) - это вещественная функция целочисленного аргумента k, принимающего значения 0, 1, 2, …. Наиболее часто приходится иметь дело с РФ f[k], соответствующими непрерывным функциям f(t) непрерывного аргумента. Непрерывная функция, совпадающая с дискретами решетчатой функции, называется огибающей этой РФ. Каждая непрерывная функция f(t) может служить огибающей различных РФ , отличающихся параметром - периодом дискретизации функции f(t).

Различным математическим формам характеризующим, или представляющим функцию f(t) можно поставить в соответствие аналоги, определяющие РФ f[k].

Аналогами производных , , и т.д. являются первая, вторая и т.д. правые и левые разности РФ f[k]:

(4.8) (4.9)

Поскольку аналогично (4.8,4.9) получаем:

и , то (4.10) (4.11)

Для квадратичной РФ правые разности

и левые разности ; ; , .

Из примера следует, что если разность n-го порядка является постоянной величиной, то разности более высоких порядков равны нулю.

Для правых разностей (4.8) аналогично (4.10) получаем:

(4.12)

(4.13)

,

где - биномиальные коэффициенты.

Таким образом, правая разность n-го порядка является линейной функцией настоящего и будущих значений РФ.

Для левых разностей (4.9) аналогично (4.11) получаем

, (4.14)

, (4.15)

.

Откуда левая разность n-го порядка является линейной функцией настоящего и n прошлых значений РФ.

Из (4.15) следует, что если , то при любом n

(4.16)

Дифференциальное уравнение представляет собой неявную зависимость между двумя непрерывными функциями и , которую можно с помощью РФ , описать разностным уравнением, как правым, так и левым.

Разностные и рекуррентные уравнения. Простейшее линейное ДУ первого порядка имеет вид:

(4.17)

Его аналогом являются линейные разностные уравнения первого порядка правое и левое соответственно.

(4.18)

Для конкретизации решений этих уравнений задаются начальные условия и .

Если в уравнении (4.18) раскрыть первые разности, т.е. подставить , то получим рекуррентные уравнения

(4.19)

Из уравнений (4.19) находят рекуррентные соотношения

, ,

с помощью которого можно определить вид зависимости, задаваясь начальными условиями и входным воздействием.

Уравнения (4.19) называют правыми и левыми рекуррентными уравнениями.

Правому разностному уравнению общего вида

(4.20)

с правыми начальными условиями

(4.21)

соответствует правое рекуррентное уравнение

(4.22)

с правыми начальными условиями

. (4.23)

Начальные условия (4.21) легко пересчитываются в (4.23) и наоборот.

Например, для правого разностного и рекуррентного уравнений 4-го порядка имеем начальные условия

.

Согласно (8.8), (8.10), (8.12) при k=0 имеем

.

Откуда легко находятся

; .