4.2.3 Особенности алгоритмизации моделей систем автоматического управления
Алгоритмизация
дискретных систем. Моделирование
САУ на ЦВМ заключается в алгоритмизации
и численном решении уравнений, описывающих
поведение этих систем при различных
воздействиях. Наиболее просто
осуществляется моделирование дискретных
систем. Дискретная линейная стационарная
система с одним входом и одним выходом
описывается левым разностным уравнением
с постоянными коэффициентами и нулевыми
НУ. Алгоритмизация его сводится к
приданию ему рекуррентной формы, из
которой следует рекуррентное соотношение
реакции системы
на входное воздействие
.
(4.41)
Это
выражение справедливо и для нестационарных
систем, когда
и
зависят от
.
Пусть
,
- реальные значения входного воздействия
и реакции дискретной системы,
соответствующие моментам реального
времени
,
-
машинные значения РФ
,
,
реализованные ЦВМ;
- машинное время квантования. Пренебрегая
эффектом квантования по уровню, имеем
при
реакцию
.
При этом масштаб времени
.
(4.42)
Если
является функцией
,
то
-
переменная величина. Моделирование САУ
на ЦВМ выполняется, как правило, при
.
Алгоритмизация
непрерывных систем. Моделирование
непрерывной системы требует получения
на ЭВМ реакции некоторой эквивалентной
дискретной системы
на входное воздействие
при условии, что реакция
и входное воздействие
непрерывной системы являются огибающими
РФ
,
.
Моделирование непрерывной линейной стационарной САУ при заданном входном воздействии сводится к решению неоднородного линейного ДУ с постоянными коэффициентами, решение которого можно найти ранее изложенными методами.
При различных входных воздействиях решение выполняется либо на основе аппроксимации операции интегрирования, либо с применением метода Рунге-Кутта.
Один из простейших методов аппроксимации операции интегрирования
заключается
в замене кривой непрерывной функции
ломаной, проведенной через дискреты
РФ
(рисунок 4.2).
Рисунок 4.2 – Кусочно – линейная аппроксимация непрерывной
функции
С учетом этого, приближенные равенства
……………………………………..
Тогда непрерывную функцию
(4.43)
приближенно
можно выразить РФ
,
значения которой определяются рекуррентной
формулой
(4.44)
Изображение по Лапласу выражения (4.43) при нулевых НУ
.
(4.45)
Для
определения соотношения между
-изображениями
,
функций
подвергаем
-преобразованию
выражение (4.44) и получаем
,
или
.
(4.46)
Следовательно, имеет место соответствие
,
(4.47)
причем
.
В случае - кратного интегрирования аналогично имеем
.
(4.48)
Система 1-го порядка описывается передаточной функцией
(4.49)
или уравнением
.
(4.50)
На основании соответствия (4.47) получаем уравнение
и соответствующую ему дискретную передаточную функцию
,
(4.51)
где
;
.
При
любой форме
и нулевых НУ из (4.51) получают уравнение
и затем рекуррентное соотношение для воспроизведения реакции системы
.
Вопросы для самоконтроля
1 Что называют идентификацией динамической системы, и какие задачи для ее осуществления необходимо решить?
2 Какова цель структурной идентификации динамического объекта?
3 К чему сводится параметрическая идентификация динамической системы;
4 Каким образом производится проверка адекватности модели исследуемой системе?
5 В чем сущность алгоритмизации математического описания динамической системы?
6 Какую функцию называют решетчатой, и для описания каких процессов ее применяют?
7 Как осуществляется преобразование дифференциального уравнения в рекуррентное соотношение?
8 Объясните, почему с помощью z – преобразования легче отыскать рекуррентное соотношение?
9 Перечислите способы нахождения решетчатой функции по ее z - изображению?
10 Как получить рекуррентное соотношение по математической модели объекта в форме передаточной функции?