6.Закон Ома и законы Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Законы Ома и Кирхгофа в символической и операторной формах.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма  мгновенных токов, притекающих к узлу равна нулю.

     

Заметим, что первый закон Кирхгофа можно сформулировать и так: сумма мгновенных токов, притекающих к узлу, равна сумме токов, вытекающих из этого узла. В более общей форме: алгебраическая сумма  токов,  притекающих к произвольному сечению, равна нулю.

Пример. Записать первый закон Кирхгофа для следующего узла (рис. 1.14.2).

 

 

Решение.  .

 

Второй закон Кирхгофа для мгновенных величин. Алгебраическая сумма мгновенных  падений напряжений в контуре равна алгебраической  сумме  мгновенных  ЭДС  в этом контуре.

     

 

где n – количество пассивных элементов в контуре;

m – количество источников ЭДС в контуре.

При наличии индуктивности или ёмкости в цепи переменного тока необходимо учитывать их реактивное сопротивление. В таком случае запись Закона Ома будет иметь вид:

I = U/Z

Здесь Z - полное (комплексное) сопротивление цепи - импеданс. В него входит активная R и реактивная X составляющие. Реактивное сопротивление зависит от номиналов реактивных элементов, от частоты и формы тока в цепи.

С учётом сдвига фаз φ, созданного реактивными элементами, для синусоидального переменного тока обычно записывают Закон Ома в комплексной форме:

 - комплексная амплитуда тока.   = I_ampe ^jφ  - комплексная амплитуда напряжения.   = U_ampe ^jφ  - комплексное сопротивление. Импеданс. φ - угол сдвига фаз между током и напряжением. e - константа, основание натурального логарифма. j - мнимая единица. I_amp , U_amp - амплитудные значения синусоидального тока и напряжения.

Для последовательно соединенных элементов формула импеданса имеет следующее значение:

При последовательном соединении токи через элементы равны, общее приложенное напряжение будет векторной суммой напряжений на R и C элементах и формула импеданса последовательной цепи будет иметь вид:

Z_ - импеданс последовательной цепи,

R - её активное сопротивление,

XC - ёмкостное сопротивление.

При параллельном соединении напряжения на R и C элементах равны, общий ток будет векторной суммой токов каждого элемента, а фомула импеданса будет следующей:

Операторная форма:

Закон Ома:

Законы Киргофа:

Операторная запись законов Кирхгофа

При ненулевых начальных условиях II закон Кирхгофа можно записать

Символическая форма:

Закон Ома:

 Комплексное сопротивление:

Величина, обратная комплексному сопротивлению, – комплексная проводимость:

Законы киргофа в символической форме:

Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

Подставив вместо i_k в (2.63) Í_ke_jωt и вынеся e_jωt за знак суммы, получим e_jωtΣÍ_k=0. Так как e_jωt не равно нулю при любом t, то:

Уравнение (2.63,а) представляет собой первый закон Кирхгофа в символической форме записи.

Пусть замкнутый контур содержит n ветвей и каждая k- ветвь в общем случае включает в себя источник ЭДС e_k, резистор R_k, индуктивную катушку L_k и конденсатор C_k, по которым протекает ток i_k.

Тогда по второму закону Кирхгофа:

Но каждое слагаемое левой части можно заменить на Í_kZ_k, а каждое слагаемое правой части – на É_k. Поэтому уравнение примет вид:

Уравнение (2.65) представляет собой второй закон Кирхгофа в символической форме записи.

6.Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов с помощью вращающихся векторов и комплексных чисел. Формулы Эйлера для комплексных чисел. Сложение, вычитание, умножение, деление синусоидальных функций времени. Векторная диаграмма.

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

К аждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной    

тригонометрической        или

алгебраической        - формах.

Например, ЭДС   , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

 .

Фазовый угол    определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

  .

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

,

(4)

 

Рис.2.7. Векторное изображение синусоидальных ЭДС

 

Рис.2.8. Векторное изображение синусоидальных значений напряжения и тока, имеющих угол сдвига фаз

 

На рис. 2.9 и 2.10 показано сложение и вычитание векторов на векторных диаграммах. Здесь сложение двух синусоид  и  , представленных синусоидой  , выполнено в виде сложения вращающихся векторов на декартовой плоскости  . Аналогично выполняется вычитание векторов ЭДС  .

 

Изображение синусоидальных величин на комплексной плоскости осуществляется комплексными числами.

 

Формула Эйлера:

Данная формула связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:

Перевод комплексных  чисел из одной формы в другую можно производить по следующим формулам:

;      

 ;        

     При сложении  и  вычитании  комплексных чисел удобно пользоваться алгебраической формой записи:

 

     При умножении,  делении, возведении в степень удобно пользоваться показательной формой

     Если комплексное число   , то комплексное число  называется сопряженным комплексным числом.

     Синусоидальное ЭДС можно представить комплексным числом:

     Для напряжения и тока аналогично.

7.Зависимости между током и напряжением в цепи, содержащей только активное сопротивление; в цепи, содержащей только индуктивность; в цепи, содержащей только электроемкость.

Положительный угол  (при индуктивной или активно-индуктивной нагрузке) откладывают от вектора тока против часовой стрелки, отрицательный угол   (при емкостной или активно-емкостной нагрузке) - по часовой стрелке

8.Ток и напряжение в цепи синусоидального тока при последовательном соединении R,L,C. Векторная диаграмма.

Векторные диаграммы при индуктивном (а) и емкостном (б) характере нагрузки

9.Ток и напряжение в цепи синусоидального тока при параллельном соединении R,L и C. Векторная диаграмма.

10.Мощности. Мгновенная мощность. Активная, реактивная и полная мощности. Коэффициент мощности. Треугольник мощностей.

Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид:

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью:

Активная мощность (резистор):

Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью.

В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:

Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности:

.

(6)

 

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:

.

(7)

 

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности    равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак,

 

Q-реактивная

P-Активная

S-Полная