1.3.5.1. Обработка результатов обыкновенных косвенных измерений

Ниже рассматривается решение этой задачи для обыкновенных косвенных измерений, когда значения аргументов находятся путем прямых однократных измерений, корреляционная зависимость между погрешностями измеряемых аргументов отсутствует, а сами погрешности достаточно малы [6].

Уравнение измерений представляет собой явную нелинейную функцию двух аргументов (количество аргументов не меняет общего подхода к решению задачи):

.

Оценки значений аргументов - ; и абсолютные погрешности этих оценок - ; -известны. При этих условиях для решения задачи можно применить математический аппарат высшей математики, используемый для нахождения нового значения функции, которое она получает при малых приращениях аргументов. Как известно, новое значение функции может быть представлено рядом Тейлора:

(1.51)

где - остаточный член разложения функции в ряд.

Для решения нашей задачи достаточно ограничиться линейным приближением, для чего в (1.51) надо принять .

(1.52)

где - остаточный член разложения.

Величина остаточного члена может быть оценена при подстановке в оценок аргументов и . Если при этом оказывается, что величина много меньше, чем и , то остаточным членом пренебрегают, т.е. используют линейное приближение разложения функции в ряд. По этой причине данный метод определения погрешности результата нелинейных косвенных измерений называют методом линеаризации. Таким образом, в этом случае оценка результата косвенного измерения может быть записана в виде:

(1.53)

Используя (1.53), абсолютную погрешность косвенного измерения - находим по общему правилу:

(1.54)

Распространяя полученное выражение на любое число аргументов, абсолютную погрешность нелинейного косвенного измерения можем записать:

(1.55)

где - частная производная от функции по - му аргументу, вы

численная при подстановке в нее оценок аргументов , называемая коэффициентом влияния (или функцией влияния) погрешности соответствующего аргумента на погрешность результата косвенного измерения;

а - частная абсолютная погрешность результата косвенного измерения от влияния погрешности i – го аргумента.

В зависимости от вида функции коэффициенты влияния для некоторых аргументов могут быть меньше единицы, а для некоторых из них - много больше единицы.

Выражение (1.55) с учетом (1.49) можно переписать в виде:

(1.56)

Как следует из (1.56) при определении погрешности результата косвенных измерений каждый раз приходиться решать задачу суммирования систематических и случайных погрешностей аргументов для определения соответствующей погрешности результата.

При этом сумма - определяется с использованием формул (1.35) и, в зависимости от того, исправлялись ли результаты измерения каждого из аргументов (вводились ли поправки на систематические погрешности) или не исправлялись, равна либо систематической погрешности результата косвенного измерения, определенной при некоторой доверительной вероятности

,

если поправки не вводились, либо неисключенному остатку систематической погрешности результата косвенного измерения

,

если результаты измерений значений аргументов исправлялись.

Сумма - в (1.56), если случайные погрешности независимы и случайная погрешность каждого из аргументов оценена величиной СКП – S_i, дает СКП результата косвенного измерения, определяемую с учетом (1.37) по формуле

.

Границы доверительного интервала случайной погрешности результата косвенного измерения определяются в соответствии с (1.22).

Границы общей погрешности результата обыкновенных косвенных измерений определяют в соответствии с правилами, изложенными в разделе 1.3.1. При этом в расчетных формулах под следует понимать неисключенный остаток систематической погрешности результата косвенного измерения - , а под СКП - СКП результата косвенного измерения -

Важно обратить внимание на некоторые особенности метода определения погрешности результата косвенных измерений. В некоторых случаях нелинейная функция может иметь такой вид, что тот или иной аргумент фигурирует несколько раз и упрощению выражение не поддается. При вычислении коэффициентов влияния в этом случае необходимо после разложения в ряд Тейлора привести подобные по каждому аргументу члены. Приведение подобных членов следует выполнять, сохраняя те знаки, которые получились при дифференцировании исходной функции. И лишь тогда, когда получена окончательная формула, т.е. формула, в которую погрешность измерения каждого аргумента входит только один раз, можно переходить к численным расчетам и, смотря по условиям измерительной задачи, распоряжаться знаками перед слагаемыми.

Исходная формула (1.55), полученная для определения погрешности результата нелинейного косвенного измерения, пригодна только в том случае, когда погрешности аргументов выражены в абсолютной форме. Коэффициенты влияния в этом случае являются размерными величинами и, после умножения на погрешность соответствующего аргумента, каждое произведение - должно иметь размерность измеряемой ФВ , что является хорошей проверкой правильности проводимых вычислений.

Иногда условиями измерительной задачи погрешности аргументов могут быть заданы в относительной форме, а переход к абсолютным значениям погрешностей невозможен т.к. оценки значений аргументов неизвестны. В этом случае воспользоваться выражением (1.55) для оценки погрешности результата невозможно и потребуется переход к относительной форме записи погрешности результата косвенного измерения.

Используя (1.55) и (1.48) относительную погрешность результата можем записать:

(1.57)

Разделив каждый член суммы на и преобразовав полученные выражения для ряда функций можно получить (1.57) в виде:

(1.58)

где - коэффициент влияния для относительной погрешности измерений - го аргумента;

- относительная погрешность -го аргумента.

Коэффициенты влияния для относительных погрешностей - должны быть безразмерными величинами, что также является хорошей проверкой правильности проведенных преобразований в соответствии с (1.57).

Алгоритм обработки результатов

обыкновенных косвенных измерений

1. Определить оценку результата косвенных измерений путем подстановки оценок аргументов в зависимость (1.48) и вычисления числового значения функции.

2. Получить функциональные зависимости для вычисления коэффициентов влияния (взять частные производные от исходной функции по каждому аргументу - ).

3. Вычислить числовое значение каждого коэффициента влияния путем подстановки в функциональные зависимости для , полученные при выполнении п.2, оценок аргументов .

4. Пользуясь соответствующими формулами, вычислить оценку границ неисключенной систематической погрешности при заданной доверительной вероятности - и среднюю квадратическую случайную погрешность - результата косвенного измерения.

5. Пользуясь правилами определения общей погрешности, определить при заданной доверительной вероятности оценку границ общей погрешности результата косвенного измерения.

6. Соблюдая правила метрологии, записать результат косвенного измерения в окончательном виде.