6. Аксіома об’єднання. Для довільної множини a існує множина b , яка складається точно з усіх елементів, що входять до елементів множини a.

7. Аксіома булеана. Для будь-якої множини a існує іі булеан в(a) , тобто сукупність всіх підмножин множини a.

8. Аксіома підстановки. Для довільної множини A і однозначної функції f , визначеної на A, існує множина, яка складається точно з елементів f(x), де x A.

Проте система аксіом Цермело – Френкеля, як уже зазначалося, в свою чергу є невизначеною, тобто в цій аксіоматиці існують твердження, які не можна ні довести, ні спростувати, наприклад, знаменита континуум- гіпотеза .

1.3. Способи визначення множини.

Якщо множина складається із скінченної кількості елементів, то вона називається скінченною. Запис означає, що елемент належить множині ( є елементом множини ). Однозначно визначену множину, яка складається з невеликої кількості елементів , як уже говорилося, будемо позначати символом .

Основні позначення та скорочення:

aA: елемент a належить множині A ;

aA: елемент a не належить множині A;

: з твердження випливає (слідує) твердження (пряма теорема);

: з твердження випливає (слідує) твердження (обернена теорема);

: твердження еквівалентно (рівносильно) твердженню (необхідна і достатня умови) або "тоді і тільки тоді";

B A : множина B не є підмножиною множини A;

: порожня множина, тобто множина, яка не містить жодного елемента;

A = { } – скінченна (n – елементна) множина, яка складена з елементів a₁ ,…, a_n (n 1); кількість елементів в множині A позначається символом .

X = { x P(x) } – множина елементів, які задовольняють властивість P(x);

 x P(x) – “ для всіх елементів x, які задовольняють властивість P(x) ” ;

 x P(x) – “ існує елемент x, який задовольняє властивість P(x) ”;

 ! x P(x) – “ існує єдиний елемент x, який задовольняє властивість P(x) ” ;

N = {1, 2, … , n , …} – множина натуральних чисел ;

Z = {0 , 1 , 2 , … , n , …} – множина цілих чисел ;

Q = {m / n | m Z , n N} – множина раціональних чисел ; множину раціональних чисел можна ще охарактеризувати, як сукупність всіх десяткових періодичних дробів;

I – множина ірраціональних чисел ( сукупність всіх десяткових неперіодичних дробів);

R – множина дійсних чисел; складається з раціональних та ірраціональних чисел;

C = { x + iy | x , y R , i² = - 1} – множина комплексних чисел.

Нехай U – деяка множина. Тоді сукупність B(U) = {X | X U} всіх підмножин X множини U називається булеаном множини U . Сама множина U по відношенню до елементів булеана називається універсальною.

Приклади 1.2.

1. – одноелементна множина, тобто множина, яка складається лише з одного елемента .

2. Множини , , , рівні, оскільки вони складаються з одних і тих же елементів. Множини і відрізняються тільки порядком елементів; множини і відрізняються від двох попередніх тим, що деякі елементи в них присутні у двох екземплярах. Множини і відрізняються тим, що множина має по два екземпляри елементів множини . Такі множини, як множина , називаються мультимножинами і позначаються так: . З точки зору теорії множин ці дві множини і можуть не розрізнятися і вважатися рівними. Але в практичних застосуваннях, наприклад, при зображенні цих множин в пам’яті ЕОМ, часто доводиться їх розрізняти.

3. Множини і не рівні оскільки перша складається з двох елементів і , які є в свою чергу множинами, а друга є трьохелементна множина з елементів .

4. Множини теж не рівні, оскільки перша є одноелементною, а друга двоелементна.

5. Нехай дано множини A={1; 2} і B={{1; 2; 3}, {1; 3}, 1; 2}. Тоді вираз {1; 2}{{1; 2; 3}, {1; 3}, 1; 2} неправильний, оскільки серед елементів множини B={{1; 2; 3}, {1; 3}, 1; 2} нема елемента A={1; 2}, але {1; 2}{{1, 2, 3}; {1; 3}; 1; 2} правильне, оскільки елементи 1, 2 множини {{1; 2; 3}, {1; 3}, 1; 2} формують підмножину {1; 2}.

Як уже було зазначено, множину можна задавати символом , але цей спосіб, ця форма застосовується тоді, коли кількість елементів невелика. Якщо ж кількість елементів значна, а тим більше при нескінченній їх кількості, такий спосіб визначення множини недоцільний або й неможливий. В такому разі застосовують визначення множини за допомогою властивості якій задовольняють елементи множини. Нехай є множина , деяка частина елементів якої має властивість . Ця частина елементів множини є її підмножиною (назвемо її множиною ). Тоді пишуть . В таких випадках має місце аксіома згортання:

Всяка властивість визначає деяку множину за такої умови: елементами множини є ті і тільки ті елементи множини , які мають властивість .

Використаємо способи властивості для визначення множини парних чисел:

. Це множина парних чисел, яка є підмножиною натуральних чисел N.

Ще одна форма визначення множини полягає у використанні певної процедури для побудови множини. Нехай множина , яка є підмножиною множини раціональних чисел , задається процедурою, яка визначається трьома кроками:

3) множина не містить інших елементів, крім побудованих за цим правилом.

З цієї процедури випливає, що множина має такі елементи: . Дійсно, якщо , то за вказаною процедурою знаходимо ще два елементи множини: . Далі використовуємо ці нові елементи множини і, приймаючи їх за , за тією ж процедурою знаходимо: якщо , то , тобто знаходимо ще один новий елемент . Якщо , то , отже, ще один новий елемент . Якщо , то .