4. Уравнение Шредингера

Теперь найдем уравнение, которое описывало бы поведение микрочастицы и решением которого была бы волновая функция (5). Для этого определим вторую производную (5)

.

Отсюда

. (6)

В квантовой механике должны выполняться законы классической физики, поскольку они включаются в нее как частные случаи, полученные в результате предельных переходов. Поэтому для квантовой механики остается справедливым соотношение

, (7)

где m – масса микрочастицы. Подставляя в (7) выражение для Р из (6), получим

(8)

Уравнение (8) является основным уравнением квантовой механики – волновым уравнением Шредингера. Его решение

(9)

Если частица обладает потенциальной энергией или находится в пле потенциальных сил U, то уравнение (8) принимает вид:

,

Решение которого

(10)

5. Прохождене частицы через потенциальный барьер

Пусть микрчастица движется в пространстве по оси Х. По характеру изменения величины потенциального поля пространство по по оси Х можно разбить на три области (рис. 2):

I. Х ≤ 0, U =0; II. 0 ≤ Х ≤ d, U=U; III. X ≥ d, U = 0

П одобное изменение потенциального поля называют потенциальным барьером. Для указанных областей решения уравнения Шредингера согласно (9) и (10) можно записать в следующем виде: для областей I и III:

Для области II:

Для областей I и III показатели экспоненты комплексные и волновая функция остается гармонической, но с разными амплитудами А₁ > А₃. Характер движения частицы в области II зависит от значения ее кинетической энергии и величины U. Наиболее интересно поведение частицы при Е < U. При этом условии

Показатель Ψ₂(х) является действительным и в области II волновая функция затухает по экспоненте (рис. 2). Вероятность обнаружить частицу на правой границе потенциального барьера, т.е. при х = d равна

|Ψ₂(d)|²

А вероятность D того, что частица пройдет потенциальный барьер, определяется отношением

D = ≈ (11)

Величину D называют прозрачностью барьера. И как бы не была велика величина U, существует конечная вероятность того, что микрочастица пройдет через потенциальный барьер.

С точки зрения классической механики, если энергия частицы меньше высоты потенциального барьера E < U, то она его принципиально преодолеть не может.

Итак, существует вероятность того, что частица может пройти, туннелировать через потенциальный барьер U без потери своей энергии Е даже при E < U. Такое прохождение частицы называется туннельным эффектом и является чисто квантовым явлением, связанным с волновыми свойствами микрочастицы.

Туннельный эффект находит широкое применение в микроэлектронике, в частности в туннельных p-n-переходах.

6. Равновесное состояние туннельного p-n-перехода

Для изготовления туннельных p-n-переходов используется контакт двух вырожденных примесных полупроводников с разным типом проводимости.

Распределение электронов и дырок в зоне проводимости и в валентной зоне полупроводника определяется положением уровня Ферми E_F. Уровень Ферми имеет смысл уровня энергии, вероятность заполнения которого электронами или дырками равна 1/2. В первом приближении можно считать, что разрешенные уровни энергии, расположенные выше E_F электронов не содержат, а расположенные ниже полностью заполнены электронами. В чистом полупроводнике уровень Ферми E_F находится по середине запрещенной зоны. При введении примеси E_F смещается или в сторону валентной зоны, если примесь акцепторная (полупроводник р-типа), или в сторону зоны проводимости, если примесь донорная (полупроводник n-типа). При концентрации примеси 10¹⁸ – 10²⁰ см^-3 полупроводник становится вырожденным.

В вырожденном полупроводнике р-типа уровень Ферми E_F^р расположен в валентной зоне. Поэтому уровни, расположенные между потолком валентной зоны E_V и E_F^р электронов не содержат, а уровни ниже E_F^р полностью ими заполнены. В зоне проводимости их нет (рис. 3а).

В вырожденном полупроводнике n-типа уровень Ферми E_Fⁿ расположен в зоне проводимости. Поэтому уровни, расположенные ниже E_Fⁿ полностью заполнены электронами (рис. 3б).

П ри соединении двух вырожденных полупроводников р- и n-типов образуется р-n-переход. При этом полупроводник р-типа (р-область заряжается отрицательно, полупроводник n-типа (n-область) заряжается положительно. Возникает контактная разность потенциалов р-n-перехода с высокой напряженностью поля Е_к, что приводит к сильному смещению энергетических уровней р- и n-областей полупроводника относительно друг- друга. В отсутствии внешнего напряжения на -n-переходе он находится в состоянии равновесия, которое характеризуется одинаковым значением энергии Ферми в р- и n-областях. Электроны валентной зоны р-области и электроны зоны проводимости n-области занимают уровни ниже E_F, имеют одинаковые значения энергии и разделены потенциальным барьером. Высота потенциального барьера (U – Е) равна ширине запрещенной зоны полупроводника Е_g, а ширина d определяется напряженностью поля Е_к; d ≈ Е_g/qЕ_к (рис. 4). Величина определяется степенью легирования полупроводника и при концентрации примеси ≈ 10²⁰ см^-3, Е_к ≈ 10⁵ – 10⁶ В/см.

Поэтому при ≈ 1 эВ = 1,6*10^-19 Дж, d ≈ 100 Å. При таких параметрах потенциального барьера возможно туннелирование электронов без потери энергии из валентной зоны р-области в зану проводимости n-области и из зоны проводимости n-области в валентную зону р-области. В состоянии равновесия эти потоки электронов равны и суммарный ток через равен нулю.