1.1. Формулы наращения

Введем обозначения:

P – первоначальная сумма денег;

i – годовая ставка (в виде десятичной дроби);

n – срок операции, в годах;

I – сумма процентных денег за весь срок;

S – наращенная сумма за весь срок.

В случае начисления простых процентов процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией. Первый член этой прогрессии равен P, разность Pi, а последний член определяемый как S=P(1+ni).

Абсолютная величина изменения денежной суммы во времени называется процентом и измеряется в денежных единицах (например, рублях). В случае начисления простых процентов сумма процентов определяется по формуле:

.

А наращенная сумма равна

;

(1.1)

Формула (1.1) называется формулой наращения по простым процентам или, кратко, формулой простых процентов. Множитель (1+ni) является множителем наращения. Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.

Пример. Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100000 руб., срок долга 1,5 года при ставке простых процентов, равной 15% годовых.

I=100000 •1,5 •0,15=22500 руб. - проценты за 1,5 года

S=100000+22500=122500 руб. - наращенная сумма.

Процентная ставка i – относительная величина, измеряемая в десятичных дробях или %, она определяется делением процентов на первоначальную сумму:

. (1.2)

На рис. 1.1. представлен график роста по простым процентам.

Рис. 1.1. График роста при начислении простых процентов

Практика начисления простых процентов

При анализе краткосрочных операций (n<1 года), срок n выражают в виде дроби

,

где t – срок контракта в днях;

K – временная база, число дней в году.

Здесь возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы K и способом измерения срока пользования ссудой.

Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом).

Если К= 365 (366), то получают точный процент, если К=1230=360, получают обыкновенный процент.

Определение числа дней пользования ссудой также может быть точным, либо приближенно. В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, приближенно считая все месяцы равными, содержащими по 30 дней. В обоих случаях счет дней 12 начинается со следующего дня после открытия операции.

рассчитывают с помощью таблицы с указанием порядковых номеров дней года по формуле:

определяют по формуле:

Комбинируя различные варианты временной базы и методов подсчета дней ссуды, получаем три варианта расчета процентов, применяемые в практике (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):

1) (365/365) - точные проценты с точным числом дней. Британский метод. Используют в России, США, Великобритании;

2) (365/360) обыкновенные проценты с точной длительностью операции - французский метод;

3) (360/360) обыкновенные проценты с приближенной длительностью операции - германский метод .

Задачи

1. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01. до 05.10. того же года под простую процентную ставку 18% годовых. Какую суму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов британским, французским и германским методами.

2. Рассчитать простую годовую процентную ставку, если за 3 квартала 80 тыс. руб. увеличились до 100 тыс. руб и применяется германская методика.

3. Определите за какой срок удвоится сумма долга, если используется простая процентная ставка 10% годовых.

4. Банк за использование в течении двух месяцев 800тыс. руб. должен выплатить 60 тыс. руб. Определите стоимость привлеченных средств в виде простой годовой процентной ставки в условиях начисления обыкновенных процентов.(45%)