Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид

(2.2)

где i₁, i₂,..., i_k - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n₁, n₂,..., n_k соответственно.

Пример. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение.

Формула удвоения суммы

В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Обычно это требуется при прогнозировании своих инвестиционных возможностей в будущем. Ответ получим, приравняв множитель наращения величине N:

а) для простых процентов

, откуда .

б) для сложных процентов

, откуда .

Особенно часто используется N=2. Тогда формулы называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

а) для простых процентов

б) для сложных процентов

Пример. Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при простых и сложных процентов равной 10%. Для ставки процентов расчеты выполнить по точной и приближенной Результаты сравнить.

Решение.

а) При простых процентах:

б) При сложных процентах и точной формуле:

Выводы:

1) Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.

2) При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.

Начисление годовых процентов при дробном числе лет

При дробном числе лет проценты начисляются разными способами:

1) По формуле сложных процентов

S=P(1+i)ⁿ, (2.3)

2) На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые

S=P(1+i)^a(1+bi), (2.4)

где n=a+b, a-целое число лет, b-дробная часть года.

3) В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

S=P(1+i)^a. (2.5)

Номинальная и эффективная ставки процентов

Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:

S=P(1+j/m)^N, (2.6)

где N - число периодов начисления.

Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:

1) По формуле сложных процентов

S=P(1+j/m)^N/, (2.7)

где N/ - число (возможно дробное) периодов начисления процентов,  - период начисления процентов,

2) По смешанной формуле

S=P(1+j/m)^a(1+bj/m), (2.8)

где a - целое число периодов начисления (т.е. a=[N/] - целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления ),

b- оставшаяся дробная часть периода начисления (b=N/-a).

Пример. Размер ссуды 20 млн. руб. Предоставлена на 28 месяцев. Номинальная ставка равна 60% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: 1) когда на дробную часть начисляются сложные проценты, 2) когда на дробную часть начисляются простые проценты 3) когда дробная часть игнорируется. Результаты сравнить.

Решение.

Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется 28/3 кварталов.

Из сопоставления наращенных сумм видим, что наибольшего

значения она достигает во втором случае, т.е. при начислении на дробную часть простых процентов.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m –разовое наращение в год по ставке j/m.

Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

, (2.9)

где i_э - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

. (2.10)

Обратная зависимость имеет вид

. (2.11)

Пример. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

Решение

Пример. Определить какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.

Решение