Вопрос 24. Линейно зависимые и линейно не зависимые вектора

Пусть дана система n-векторов a₁,a₂…a_n (n≥2)

Система векторов называется линейно зависимой если существуют такие числа k₁,k₂,…k_n (n≥2) что имеет место равенства: k₁a₁+k₂a₂+…k_na_n=¢ если хотя бы

одно из k_j отлично от ¢ (≠0) и линейно не зависимой в противном случае.

Система векторов a₁,a₁,…a_n (n≥2) называется линейно зависимой если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов системы и линейно не зависимой в противном случае.

Пример.

a₁ = (5,2,1) a₂ = (-1,3,3) 4a₁-a₂-3a₃+2a₄=0

a₃ = (9,7,5) a₄ = (3,8,7) Проверить

a₁=5i+2j+k; a₂=-1i+3j+3k; a₃=9i+7j+5k; a₄=3i+8j+7k

4a₁=20i+8j+4k; -a₂=i-3j-3k; -3a₃=-27i-21j-15k; 2a₄=6i+16j+14k

4a1-a2-3a3+2a4=(20+1-27+6)i+(8-3-21+16)j+(4-3-15+14)k=0i+0j+0k=0

Вопрос 25. N-мерное векторное пространство, свойства n-мерных векторов.

Совокупность всевозможных упорядоченных систем из n-действительных чисел. Эта совокупность после введения в нее операций сложения и умножения над ними на число и носит название n-мерное векторное пространство.

N-мерное векторное пространство есть лишь алгебраическое образование, сохраняющие некоторые пространственные свойства в совокупности векторов 3-мерного пространства, выходящих из начала координат. Упорядоченная система n-чисел (a=(a1,a2…an)) называется n-мерным вектором, ai-компоненты вектора.

Свойства Пусть даны 2 n-мерных вектора: a=(a1,a2…an), b=(b1,b2…bn)

1. Векторы a и b будут считаться равными если совпадают их компоненты, стоящие на одинаковых местах ai=bi

2. Суммой векторов называют вектор, компоненты которого являются суммами соответствующих компонент слагаемых векторов

a+b =(a1+b1,a2+b2,…,an+bn).

3. Роль ¢ играет нулевой вектор. ¢=(¢,¢,…,¢)

4. Разностью векторов будет вектор, компоненты которого есть разности соответствующих компонент, вектора уменьшаемого и вектора вычитаемого a-b=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn).

5. Произведением вектора на число K называется вектор, компоненты которого равны произведению на К соответствующих компонент вектора a.

6. Совокупность всех n-мерных векторов с действующими компонентами рассматриваются с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется N-мерным векторным пространством.

Вопрос 26. Первообразная функция и неопределенный интеграл.

Функция F(x), определенная в промежутке (a,b), называется первообразной данной функции f(x) в этом промежутке, если для любого значения x (a,b) выполняется равенство F’(x)=f(x).

Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется множество всех ее первообразных f(x)dx=F(x)+C где F’(x)=f(x), функция f(x) – подынтегральной функцией; выражение f(x)dx – подынтегральным выражением.

Вопрос 27. Таблица основных интегралов.

Вопрос 28. Простейшие свойства неопределенного интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

( f(x)dx)’=f(x)

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

d( f(x)dx)=f(x)dx

3. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная. F’(x)dx=F(x) + C

4. Неопределенный интеграл от дифференцирования равен дифференцированной функции плюс произвольная постоянная. dFx=F(x)+C

5. Постоянный множитель К можно выносить за знак неопределенного интеграла.

kf(x)dx=k f(x)dx

6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы 2-х функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, если каждый из них существует.

[f₁(x)+f₂(x)]dx= f₁(x)+ f₂(x)dx

Распространяется на любое число слагаемых.