Важнейшие замкнутые классы в р2

1) Т₀ - класс функций, сохраняющих константу 0.

Т₀ = { f(x₁, ..., x_n) f(0, ..., 0) = 0, n = 1, 2, ...}. Покажем, что Т₀ является собственным подмножеством Р₂, т.е. Т₀  и Т₀ Р (не совпадает с Р₂). Для этого достаточно привести примеры функций, входящих в Т₀, и примеры функций из Р₂, не входящих в Т₀: x₁&x₂, x₁x₂, xТ₀ и x₁|x₂, x₁ x₂, Т₀. Покажем далее, что [Т₀] = Т₀. Вложение Т₀ [ Т₀] очевидно, так как по определению формулы любая функция из Т₀ является формулой над Т₀ и, следовательно, принадлежит [Т₀]. Покажем, что [Т₀] Т₀. Для этого надо показать, что Ф = f(f₁, ..., f_m) [ Т₀], если все функции f, f₁, f₂, f₃, ..., f_m  Т₀. Надо заметить, что в формуле в качестве функции f₁ могут быть взяты переменные, которые мы договорились считать тождественными функциями. Тождественная функция принадлежит классу Т₀, поэтому достаточно показать, что Ф = f (f ₁, ..., f_m)  Т₀. Для этого рассмотрим следующую функцию: Ф(0, ..., 0) = f (f ₁(0, ..., 0), f ₂(0, ..., 0), ...) = f(0, ..., 0) = 0.

Число функций, зависящих от n переменных и принадлежащих Т₀, будет равно

2) T₁ – класс функций, сохраняющих константу 1.

T₁ = {f(x₁, ...) f(1, 1, ...) = 1}; x₁&x₂, x₁x₂, xT₁, х₁х₂, x₁ x₂T₁, следовательно Т₁ – собственное подмножество Р₂.

Покажем, что [T₁] T₁, обратное включение следует из определения формулы и замыкания. Так как тождественная функция входит в Т₁, можно рассмотреть Ф = f(f₁, ..., f_n) [T₁], где f, f₁, ..., f_n T₁. Найдем Ф(1, ..., 1) = f(f₁(1, ..., 1), ..., f_n(1, ..., 1)) = f(1, ..., 1) = 1, следовательно, Ф = f(f₁, ..., f_n) T₁, отсюда следует [T₁] = T₁.

3) S – класс самодвойственных функций.

S = {f(x₁, ...)f* = f }; x, , x₁x₂x₃S, x₁&x₂, x₁x₂, x₁x₂S, следовательно, S – собственное подмножество Р₂. |S(n)| = . Покажем, что [S]S. Ф = f(f₁, ..., f_n) [S], если f, f₁, ..., f_n S, а также, что Ф S. По принципу двойственности, Ф* = f*(f₁*, ..., f_n*) = f(f₁, ..., f_n) = Ф, отсюда S – замкнутый класс.

4) L – класс линейных функций.

L = {f(x₁, ...) f = c₀c₁x₁...c_nx_n}; очевидно, L , с другой стороны

L P₂, так как x₁&x₂ L. Заметим, что тождественная функция принадлежит L и |L(n)| = 2ⁿ⁺¹. Покажем, что [L] L. Рассмотрим Ф = f(f₁, ..., f_m), где f, f₁, ..., f_n L. Тогда Ф = а₀  а₁(с₁₀  с₁₁х₁ ... c_1nx_n1)  a₂(c₂₀  c₂₁x₁  c₂₂x₂...c_2nx_n2)...a_n(c_m0 c_m1x₁ ...  c_mnx_nm) = в₀ в₁х₁ ... в_nх_n  ФL.

5) М – класс монотонных функций.

Определение. Набор '= (₁, ..., _n) предшествует набору '= (₁, ..., _n) и это обозначается 'Ð', если для 1in _i_i, например: '= (0010), '= (0110), тогда 'Ð'. Не любые два набора находятся в отношении предшествования, например, наборы (0110) и (1010) в таком отношении не находятся. Отношение предшествования ( ) является отношением порядка на множестве наборов длины n, множество таких наборов будет частично упорядоченным множеством по отношению к операции.

Определение. Функция f(x₁, ..., x_n) называется монотонной, если для двух наборов 'и ', таких что 'Ð', выполняется f(') f('). Функции 0, 1, x, x₁&x₂, x₁x₂ M, x₁x₂, x₁x₂, x₁~x₂ M.

Для числа монотонных функций, зависящих от n переменных, существуют оценки сверху и снизу, но точное число сосчитать не удается. Покажем, что М замкнутый класс. Рассмотрим функцию Ф[M], Ф = f(f₁, ..., f_m), где f, f₁, ..., f_mM, причем можем считать, что все они зависят от n переменных. Пусть набор '= ₁, ..., _n), '= (₁, ..., _n). Рассмотрим Ф₁, ..., _n) = f(f₁₁, ..., _n), …, f_m₁, ..., _n)) и Ф(₁, ..., _n) = f(f₁(₁, ..., _n), ..., f_m(₁, ..., _n)). Здесь f₁()Ð f₁(), ..., f_m()Ð f_m(), тогда набор (f₁(), ..., f_m())Ð (f₁(), ..., f_m()), но тогда Ф(')Ð Ф('), так как fM, отсюда Ф = f(f₁, ..., ) – монотонная функция.

Определение. Функция f есть суперпозиция над M, если f реализуется некоторой формулой над M.

Лемма о немонотонной функции. Отрицание можно получить суперпозицией констант 0 и 1, тождественной функции и немонотонной функции.

Доказательство. Пусть f(x₁, ..., x_n) – немонотонная функция. Тогда существуют наборы и , для которых но Пусть i₁, …, i_k есть все те номера аргументов, для которых , p=1, …, k. На всех остальных аргументных местах j имеем _j = _j. В выражении заменим нули на местах i₁, …, i_k на x. В результате получим функцию g(x), для которой g(0) = f( ) = 1 и g(1) = f( ) = 0. Функция g(x) является отрицанием.

Классы T₀, T₁, L, S, M пересекаются, но не совпадают, что видно из следующей таблицы, где «+» означает, что функция принадлежит данному классу и «-» – не принадлежит.

	T0	T1	L	S	M
x	+	+	+	+	+
	-	-	+	+	-
0	+	-	+	-	+
1	-	+	+	-	+
x1x2	+	+	-	-	+

A={x, , 0, 1, x₁x₂) не является полной системой функций так как всегда есть функции Р₂ не входящие в эти классы.

Задачи

1. Доказать, что пересечение любых двух замкнутых классов замкнуто.

2. Доказать, что объединение двух замкнутых классов не всегда замкнуто.