2.4.5. Полнота, примеры полных систем
Определение. Система функций {f1, f2, ..., fs, ...}P2 называется полной в Р2, если любая функция f(x1, ..., xn) P2 может быть записана в виде формулы через функции этой системы.
Полные системы
1. P2 – полная система.
2. Система M={x1&x2,
x1x2,
}
– полная система, т.к. любая функция
алгебры логики может быть записана в
виде формулы через эти функции.
Пример 1.
Неполные системы: {
},
{0,1}.
Лемма (достаточное условие полноты)
Пусть система U = {f1, f2, ..., fs, ...} полна в Р2. Пусть B = {g1, g2, ..., gk, ...} – некоторая система из Р2, причем любая функция fi U может быть выражена формулой над B, тогда система B полна в Р2.
Доказательство.
Пусть
h(x1, ..., xn)
P2,
т.к. U
полна в
Р2, то
h(x1, ..., xn) =
N[f1, ..., fs, ...]
= N[L1[g1,
..., gk],
..., Ls[g1,
..., gk],
...] = U[g1,
..., gk].
Здесь мы воспользовались
тем, что для любого i
n
fi может
быть выражена формулой над B,
поэтому
fi=Li[gi,
..., gk].
3. Система {x1x2, } – полна в P2.
Возьмем в качестве
полной в Р2
системы U={x1x2,
,
x1&x2},
B={x1x2,
}.
Надо показать, что x1&x2
представляется формулой над B.
Действительно, по правилу Де Моргана
получим: x1&x2=
.
С помощью этой леммы докажем полноту еще ряда систем.
4. Система {x1&x2, } – полна в Р2.
5. Система {x1|x2} полна в Р2. Для доказательства возьмем в качестве полной в Р2 системы U = {x1&x2, } и выразим х1&х2 и через х1|x2 :
=
x1 | x1, x1 &
x2 =
=
(x1|x2)|(x1|x2).
6. Система {x1
x2}
полна в Р2. U = {x1x2,
},
=
x1
x1,
x1x2
=
= (x1
x2)
(x1
x2).
7. Система {x1&x2, x1x2, 0, 1}, U = {x1&x2, }, = x11.
Следствие. Полином Жегалкина.
f(x1,
..., xn) P2,
представим ее в виде формулы через
конъюнкцию и сумму по модулю два,
используя числа 0 и 1. Это можно сделать,
так как {x1&x2,
x1x2,
0, 1} полна в Р2.
В силу свойства x &
(yz)
= xy xz
можно раскрыть все скобки, привести
подобные члены, и получится полином от
n переменных, состоящий
из членов вида х
х
...х
,
соединенных знаком .
Такой полином называется полиномом
Жегалкина.
Общий вид полинома Жегалкина:
где
,
s = 0, 1, ..., n,
причем при s = 0 получаем
свободный член а0.
Представление функции в виде полинома Жегалкина
1. Представим любую функцию формулой над {x1&x2, } и сделаем замену =x1. Этот способ удобен, если функция задана формулой.
Пример 2. (x1x3x2)x3 = ((x1x3x2)x3 = ((x1x31)x21)x3 = x1x2x3x2x3x3.
2. Метод неопределенных коэффициентов. Он удобен, если функция задана таблицей.
Пример 3. Запишем с неопределенными коэффициентами полином Жегалкина для функции трех переменных f(x1, x2, x3) = (01101001) = а0 а1х1 а2х2 а3х3 b1x1x2 b2x2x3 b3x1x3 cx1x2x3. Затем находим коэффициенты, используя значения функции на всех наборах. На наборе (0, 0, 0) f(0, 0, 0) = 0, с другой стороны, подставив этот набор в полином, получим f(0, 0, 0) = а0, отсюда а0 = 0. f(0, 0, 1) = 1, подставив набор (0, 0, 1) в полином, получим: f(0, 0, 1) = а0 а3, т.к. а0 = 0, отсюда а3 = 1. Аналогично, f(0, 1, 0) = 1 = а2, f(0, 1, 1) = 0 = а2 а3 b2 = b2 = 0; а1 = 1; 0 = а1 а3 b3 = b3 = 0; 0 = а1 а2 b1 = b1 = 0; 1 = 1 1 1 c; c = 0; f(x1, x2, x3) = x1 x2 x3.
3. Многочлен Жегалкина можно получить также с помощью треугольника Паскаля по единицам его левой стороны по таблице следующим образом. Построим многочлен Жегалкина для функции f = (10011110). Верхняя сторона треугольника есть функция f. Любой другой элемент треугольника есть сумма по модулю для двух соседних элементов предыдущей строки. Левая сторона треугольника для функции f содержит шесть единиц. Многочлен Жегалкина будет содержать шесть слагаемых. Первая единица треугольника соответствует набору (000). Первое слагаемое многочлена есть 1. Третья снизу единица в левой стороне треугольника соответствует набору (101). В качестве слагаемого многочлена берем x1x3. Аналогично для других единиц треугольника. Слева от наборов показаны слагаемые многочлена Жегалкина.
N |
x1x2x3 |
f |
Треугольник Паскаля |
1 x3 x2 x2x3 x1 x1x3 x1x2 x1x2x3 |
000 001 010 011 100 101 110 111 |
1 0 0 1 1 1 1 0 |
1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 |
Тогда
