Рівняння прямої,що проходить через дану точку перпендикулярно до даного вектора

Запишемо рівняння прямої, що проходить через дану точку М(x0;y0) перпендикулярно до даного вектора = (а, Ь).

Виберемо на прямій Ь довільну точку М(х; у). Розглянемо век­тор М0М = (х – x0, у ~-у0). Вектори М0М та перпендикулярні (рис. 3.3), тому їх скалярний до­буток дорівнює нулю. Дістанемо рівняння прямої

A(x- )+b(y-

яке називають рівнянням пря­мої, що проходить через дану точку перпендикулярно до дано­го вектора.

Рівняння (3.4) задовольняють координати будь-якої точки, що

лежить на прямій, і не задовольняють координати точки, що не ле­жить на прямій. Тому рівняння (3.4) є шуканим.

■ Приклад 2. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку Л/(3; -1) перпендикулярно до вектора н - (2; 4).

Підставивши в рівняння (3.4) координати вектора /7 = (2; 4) і точ­ки М(3'% -І), матимемо

2(х-3) + 4(у + 1) = 0, або 2х + 4у - 2 = 0, або х + 2у - 1 = 0.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Нехай пряма перетинає вісь Oy у точці B(0; Ь) й утворює з віссю Ох кут α (рис 3.4) який називають кутом нахилу прямої

Виберемо на прямій довільну точку М(x;y).

Розглянемо трикутник MBN, в якому

Означення:. Кутовим коефіцієнтом гіршої називають тан­генс кута а, який утворює пряма з додатним напрямом осі Ох:

k = tg α. (3.5)

Отже, K= ,звідки

у = kx + Ь. (3.6)

Рівняння (3.6) називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієн­том.

Розглянемо окремі випадки рівняння (3.6).

Якщо Ь = 0, то пряма у = kx проходить через початок координат (рис. 3.5). Якщо k = tg α > 0,то пряма утворює з віссю Ох гострий кут. Якщо ж k=tg α < 0, то пряма утворює з віссю Ох тупий кут

2. Якщо k = 0, то tg α = 0, а отже, α = 0; тому пряма у = b паралель­на осі Ох. Рівняння осі Ох має вигляд у= 0 (рис. 3.6).

3. Якщо α = π/2, то tg(π/2) не існує, тобто вертикальна пряма не має кутового коефіцієнта. Дана пряма паралельна осі Оу, і її рівняння має вигляд х=α (рис. 3.7).

Рівняння прямої, яка проходить через дану точку в даному напрямі

Нехай пряма проходить через точку M0(x0; у0) і утворює з віссю Ох кут α (α ≠ π/2). Оскільки точка М0 (х0\ у0) лежить на прямій, то її координати задовольняють рівняння (3.6), тому

у0 = кх0 + Ь. (3.7)

Віднімаючи рівняння (3.7) від (3.6), дістанемо

у-у0=к(х-х0). (3.8)

Це рівняння прямої, яка проходить через дану точку Л/0(х0; у0) у дано­му напрямі. Його ше називають рівнянням пучка прямих, oо прохо­дить через точку M0 (x0; у0).

Приклад 3. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку М0 (1; -2): 1) паралельно осі Ох; 2) паралельно осі Оу; 3) під кутом α = 135°.

1. Якщо пряма паралельна осі Ох, то кутовий коефіцієнт цієї пря­мої k - 0. Тому її рівняння має вигляд у=b. Підставляючи в це рівнян­ня координати точки M0,(1; -2), дістанемо b = -2. Отже, рівняння шука­ної прямої у = -2.

2. Якщо пряма паралельна осі Оу, то вона утворює кут α = π/2 з віссю Ох. Тому k = tg(π/2) не існує, й рівняння прямої має вигляд х =α. Підставивши координати точки M0 (1; -2), дістанемо α= 1. Отже, рів­няння шуканої прямої х- 1.

3. Якщо пряма утворює з віссю Ох кут 135*, то її кутовий коефіці­єнт k = tg 135° = -1. Використовуючи формулу (3.8), матимемо у+ 2 = -1(х - 1), або у = -х -1, що є рівнянням шуканої прямої.