1.2. Волновой пакет и его свойства

Для того чтобы найти подходящий способ описание движения частиц при учете их волновых свойств, рассмотрим некоторые следствия электродинамической теории волн. Хорошо известно, что плоская монохроматическая волна описывается выражением:

,

где  — амплитуда,  — круговая частота,  — волновое число (пространственный аналог круговой частоты),  — начальная фаза. Положение постоянной фазы соответствует постоянному значению аргумента под знаком : . Дифференцируя последнее выражение по времени, найдем скорость распространения фиксированной фазы — фазовую скорость : . Откуда . В общем случае трехмерного движения выражение, описывающее волну, имеет вид , где r — радиус вектор положения точки наблюдения волны, k — волновой вектор. Приведенные формулы для описания одномерной и пространственной волны не вполне удобны для применения по отношению к частицам, поскольку не позволяют указывать пространственное положение частиц. Иными словами данные выражения описывают волну, которая существует вдоль всей оси x или во всем пространстве, в то время как при длине волны Де-Бройля, меньшей размера области движения частиц, следует характеризовать координатами их положения в пространстве. Поэтому приведенные выражения для волны нуждаются в модификации.

Для описания движения волн-частиц используются понятия волнового пакета. Волновой пакет представляет собой суперпозицию непрерывного спектра волн, затухающих по мере удаления от основной частоты ω₀ и основного волнового вектора k₀. Таким образом, волновой пакет для случая одномерного движения можно записать в виде интеграла

где без ограничения общности результата мы положили начальную фазу равной нулю. Функцию , выражающую связь между частотой и волновым вектором (дисперсионное соотношение), разложим в ряд Тейлора вблизи точки , ограничиваясь линейным приближением . После подстановки этой аппроксимации в предыдущее выражение и интегрирования найдем

где , .

Н

Рис. 1. Распределение интенсивности волнового пакета

айдем групповую скорость, т. е. скорость движения центра волнового пакета, которую можно отождествить со скоростью движения частицы. Таким образом групповая скорость это скорость движения точки, для которой : , откуда . На рис. 1 построен график функции . Из рисунка видно, что амплитуда волн уменьшается примерно на порядок при смещении от центра пакета на расстояние по оси . Поэтому границы волнового пакета будут определяться условием . Таким образом, измерение или расчет характеристик движения волны-частицы возможен только для пространственной области, размеры которой удовлетворяют неравенству . Откуда при имеем условие . Из ранее веденных соотношений для длины волны Де-Бройля , где  — импульс частицы, и соотношения между длиной волны и волновым числом получаем

. (1)

Неравенство (1) носит название соотношения неопределенностей Гейзенберга, физический смысл которого состоит в невозможности сколь угодно точного одновременного определения положения и импульса частицы. Например, при уменьшении , что будет соответствовать повышению точности определения координаты, согласно (1) будет возрастать ошибка в определении импульса . Соотношение неопределенностей (1) обобщается и на пространственный случай, для чего его применяют для двух оставшихся декартовых координат и : , .

Если теперь в ранее выведенном неравенстве положить , то принимая за начало отсчета во времени , получим неравенство вида . Используя ранее введенную формулу Планка для энергии излучения , последнее неравенство преобразуем к виду

(2)

физический смысл которого состоит в том, что повышение точности измерения энергии частицы требует увеличения времени измерения. Иными словами исчерпывающая точность измерения энергии требует неограниченно длительного наблюдения . Неравенство (2) получило название четвертого соотношения неопределенностей.

Факт существования соотношения неопределенностей и наличие максимума у функции, описывающей волновой пакет в точке локализации частицы, позволяет интерпретировать волны Де-Бройля, как волны некоторой функции, квадрат которой (это будет показано в следующем разделе) характеризует вероятность обнаружить частицу в заданном месте. Данная функция носит название волновой и обычно записывается в комплексном виде:

(3)

где  — мнимая единица. Данная интерпретация волновой функции полностью соответствует экспериментальным дифракционным картинам. Например, данная функция описывает области наибольшего почернения, образующиеся при облучении фотопластинок пучками электронов, проходящих через бериллиевую фольгу.